Os piratas do vale do silicio

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GEOMETRIA COM CONTAS
Carlos Yuzo Shine, Colégio Etapa

□ Nível Avançado

Às vezes precisamos de mais elementos para resolver problemas de geometria. Pode-se traçar novos elementos na figura que possam ajudar ou fazer algumas contas. Mostraremos algumas técnicas para fazer algumas contas que ajudam (e até resolvem!).

Em geral, pode-se pensar em problemas de geometria seguindo essespassos:

i) Faça a figura do problema (praticamente nenhum problema vem com figura), bem grande e com certa precisão (ou seja, use a régua e o compasso, mas não é necessário muito rigor).
ii) Mexa um pouco com os elementos da figura. Algo que é sempre útil é fixar um certo número de ângulos (de preferência, o menor número possível, de modo que os ângulos marcados determinem a figura - anão ser, é claro, que acrescentar algum outro ângulo adicione alguma simetria algébrica útil) e calcular todos os outros ângulos possíveis (se os ângulos que você escolheu determinam a figura, é possível calcular todos os outros, de um jeito ou de outro). Procure quadriláteros inscritíveis para ajudar. Se necessário, faça conjecturas (é para isso que você fez um desenho bem feito!). Alguns problemasde geometria já são resolvidos nesse passo!
iii) Se o problema ainda não foi resolvido, é hora de elaborar uma estratégia para resolver o problema, ou seja, determinar quais cálculos devem ser feitos. Nada de fazer cálculos sem planejá-los!
iv) Execute sua estratégia. Lembre-se sempre de ter uma meta em mente (algo do tipo "precisamos calcular tal ângulo") e, se você estiver numa prova, decontrolar seu tempo e o tamanho da conta (não deixe a conta crescer muito; a falta de controle é um fermento muito poderoso para contas.)

É claro que esses passos não são precisos e que, para dominá-los, é preciso muito treino e, por que não, aprender algumas técnicas.




TRIGONOMETRIA
Muitos problemas de geometria podem ser resolvidos com o auxílio da trigonometria. As fórmulas que vocêdeve saber são basicamente essas quatro:

[pic]
[pic]
[pic]
[pic]

A partir dessas você pode deduzir essas outras, que na verdade são as mais úteis para nós e que tornam a trigonometria tão poderosa.

|Transformando produtos em somas |Transformando somas em produtos |
| ||
|[pic] |[pic] |


Por fim, relembramos a lei dos senos e a lei dos co-senos. No triângulo ABC, seja AB = c, AC = b, BC = a, (A = (, ( B = ( e (C = (. O circunraio de ABC é R.

[pic]

A lei dos senos, por envolver proporções (que são mais simples)e elementos adicionais do triângulo (o circunraio), é particularmente útil.
Vamos resolver alguns problemas e mostrar algumas técnicas de cálculo.

CONVENÇÃO
Sempre que houver um triângulo ABC, (, ( e ( são as medidas dos ângulos (BAC, (ABC e (ACB, respectivamente.

UM COMEÇO E O TRUQUE DA CO-TANGENTE

Exemplo
(Prova de Seleção para a IMO) Seja ( uma circunferência de centro O tangenteaos lados AB e AC do triângulo ABC nos pontos E e F. A reta perpendicular ao lado BC por O intercepta EF no ponto D. Mostre que A, D e M (ponto médio de BC) são colineares.

Resolução
Primeiro, um bom desenho, com todos os ângulos que pudermos marcar (a técnica do arrastão é bastante útil - é por isso que você deve fazer um desenho grande!!). Note que os ângulos do triângulo ABC já determinam osângulos toda a figura (para perceber isso, note que se construir ABC todos os outros ângulos da figura já estão determinados).
|[pic] |


É sempre bom justificar os cálculos. Seja P a interseção de BC e da reta perpendicular a BC por O. Como [pic] e [pic] são retos, o quadrilátero BPOE é...
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