Operadores lineares

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Álgebra Linear Tipos Especiais de Operadores Lineares
Prof. Carlos Alexandre Mello
cabm@cin.ufpe.br

Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br

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Tipos Especiais de Operadores Lineares
• Tipos especiais de operadores
Operadores Auto-Adjuntos Operadores Ortogonais

• Teorema: Sejam V um espaço vetorial com produto interno < , > e α = {u1, ..., un} base ortonormal de α.Então, se v e w são vetores de V com y1 x1 [v]α = … e [w]α = … xn yn • Temos: = x1y1 + x2y2 + ... + xnyn
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Tipos Especiais de Operadores Lineares
• Em outras palavras, ao trabalharmos com uma base ortonormal, para efetuar o produto interno de dois vetores basta multiplicar as coordenadas correspondentes e somar • Definição: Seja A umamatriz n x n real e A’ sua transposta:
a) Se A = A’, dizemos que A é simétrica b) Se A.A’ = A’.A = I (ou seja, A-1 = A’), dizemos que A é uma matriz ortogonal

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Tipos Especiais de Operadores Lineares
• Teorema: Seja A uma matriz ortogonal. Então det A = ±1
Prova: Como A é ortogonal, A.A’ = I ⇒ det (A.A’) = det(I) = 1 det (A.A’) =det(A).det(A’) (propriedade) ⇒ det(A).det(A’) = 1 Mas, det(A) = det(A’) (propriedade) Logo, det2(A) = 1 ⇒ det(A) = ±1

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Tipos Especiais de Operadores Lineares
• Teorema: Uma matriz é ortogonal se e somente se as colunas (ou linhas) são vetores ortonormais • Exemplo: Seja V = R2 e α={(1, 0), (0, 1)} e β = {(cos θ, -sen θ), (sen θ,cos θ)} bases ortonormais • [ I ]αβ = ? • Calculando como vimos antes...
[ I ]αβ = cosθ senθ
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-senθ cosθ

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Cont.

Tipos Especiais de Operadores Lineares
Para checar se [ I ]αβ é ortogonal, basta multiplicá-la pela sua transposta: cosθ senθ = = -senθ cosθ cosθ -senθ senθ cosθ

• Exemplo:

cos2θ + sen2θ 0 1 0 0 1

0 sen2θ +cos2θ
Também é preciso multiplicar a transposta pela matriz para tentar encontrar a identidade...

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Tipos Especiais de Operadores Lineares
• Teorema: Se V é um espaço vetorial com produto interno e α e β são bases ortonormais de V, então a matriz de mudança de base [ I ]αβ é uma matriz ortogonal • Nesses casos, [ I ]βα.([ I ]βα)’= I ou seja ([ I ]βα)’ = ([ I ]βα)-1, e ainda mais ([ I ]βα)’ = ([ I ]βα)-1 = [ I ]αβ
Assim, tendo [ I ]αβ, [ I ]βα é apenas sua transposta

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Operadores Auto-Adjuntos e Ortogonais
• Definição: Seja V um espaço vetorial com produto interno, α uma base ortonormal e T:V→V um operador linear. Então:
a) T é chamado um operadorauto-adjunto, se [T]αα é uma matriz simétrica b) T é chamado um operador ortogonal, se [T]αα é uma matriz ortogonal

• Sejam α e β bases ortonormais:
se [T]αα é simétrica, então [T]ββ também é. se [T]αα é ortogonal, então [T]ββ também é.

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Operadores Auto-Adjuntos e Ortogonais
• Exemplo:
Seja T:R2→R2 onde T(x, y) = (2x – 2y, -2x + 5y)Se α é a base canônica, a matriz de T é:

[T]αα=

2 -2

-2 5

que é uma matriz simétrica e, portanto, T é operador auto-adjunto

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Operadores Auto-Adjuntos e Ortogonais
• Teorema: Seja V um espaço vetorial com produto interno < , > e T:V→V linear • Então T auto-adjunto implica que = • para todo v, w ∈ V • Prova:

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Operadores Auto-Adjuntos e Ortogonais
• Prova: (no caso de n = 2)
α = {v1, v2} uma base ortonormal v = x1v1 + y1v2 w = x2v1 + y2v2

x1 x2 ou [v]α = y e [w]α = y 1 2
Como T é auto-adjunto, então [T]αα é simétrica Seja:

[T]αα=

a b

b c

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Cont.

Operadores...
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