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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Notas de aula Professor: Altemir José Borges

Curitiba Agosto de 2006

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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Definição: Chama-se equação diferencial à equação que possui as derivadas ou diferenciais de uma ou mais variáveis dependentes, em relação a uma ou mais variáveis livres. Exemplos: dy a) = 3x − 1 dx d2y dy b) − 7 + 12 y = 6e 5 x 2 dx dx
d2y  dy  c)   dx 2  −5 dx  = cos x      ∂z ∂z −x = 3 xyz d) ∂x ∂y Classificação: A equação será chamada de ordinária se as variáveis dependentes forem função de uma única variável livre, caso contrário, serão chamadas de equações diferenciais parciais. As equações dos exemplos a, b e c anteriores são equações diferenciais ordinárias e a equação do exemplo d é uma equação diferencial parcial.
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Ordem:Chama-se ordem de uma equação diferencial à ordem da derivada de maior ordem. As equações a) e d) são de primeira ordem, já os exemplos b) e c) são de segunda ordem. Grau: Grau é o maior expoente da derivada de maior ordem. As equações a, b e d são de primeiro grau e o exemplo c é do terceiro grau. Solução: É uma função que quando substituída na equação diferencial a transforma numa identidade. Assoluções podem ser: solução geral, particular ou singular. Chama-se solução geral à família de curvas integrais que verifica a equação diferencial e possui constantes arbitrárias. Chama-se solução particular de uma equação diferencial à solução obtida a partir da solução geral impondo condições iniciais ou de contorno. Geralmente as condições iniciais serão dadas para o instante inicial, já ascondições de contorno aparecem quando nas equações de ordem superior os valores da função e de suas derivadas são dadas em pontos distintos. Por exemplo: Resolver a equação diferencial ordinária (EDO) 5 y ' '+ y ' = −6 x , sujeita às condições iniciais y(0) =2 e y’(0) = 3, ou resolver a EDO 5 y ' '+ y ' = −6 x , sujeita às condições de contorno y(0)=2 e y’(1)=3. Chama-se solução singular de uma equaçãodiferencial à envoltória1 da família de curvas integrais. dy Teorema da existência: A equação = g ( x, y ) admite solução se: dx • g(x,y) é contínua e unívoca em uma região D de pontos (x,y). • ∂g ∂y existe e é contínua em todos os pontos de D.
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____________________
Envoltória de uma família de curvas é a uma curva tangente a todas as curvas da família.

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Exercícios: 1. Mostre, porsubstituição, que as seguintes funções são soluções das equações diferenciais dadas: 2x a) y = e , y"−5 y'+6 y = 0
b) c)

y = e3x , y"−5 y'+6 y = 0 y = C1e2 x + C2e3x , y"−5 y'+6 y = 0

d) y = Ax + Bx 2 − 3x ln x , x 2 y"−2xy'+2 y = 3x
dy d2y e) y = Ax + Bx ln x + 2 + ln x , x 2 −x + y = ln x dx 2 dx

2. Determine uma equação diferencial de menor ordem possível que não contenha constantesarbitrárias e que possua as seguintes soluções: a) y = Cx 2
b)

y = C1x 2 + C2 c) y = A sen 2 x + B cos 2 x
d)

y = Ae x + Be2 x x e) ln = 1 + Cy y

x3 = C x 2 − y 2 g) cos ec( x + y ) − cot g ( x + y ) = x + C
f)

(

)

3. Encontre uma equação diferencial da família de circunferências de raio 5 e de centros sobre o eixo dos x. 4. Nas equações diferenciais a seguir, substitua y = e rxpara determinar todos os valores de r para os quais y = e rx é uma solução da equação. a) 3y' = 2 y b) 4 y" = y c) y"+ y'−2 y = 0 d) 3y"+3y'−4 y = 0 e) y"−4 y '+8 y = 0 5. Nos exercícios seguintes, uma função y=g(x) é descrita por alguma propriedade geométrica de seu gráfico. Escreva uma equação diferencial da forma y’=f(x,y), tendo a função y=g(x) como solução: a) A inclinação (declividade) dográfico de g no ponto (x,y) é a soma de x e y. b) A reta tangente ao gráfico de g no ponto (x,y) intercepta o eixo dos x em (x/2,0). c) Cada reta normal ao gráfico de g passa pelo ponto (0,1). d) A reta tangente ao gráfico de g em (x,y) passa pelo ponto (-y,x).

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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM E 1º GRAU:
Neste estudo vamos dividir as equações de 1a ordem e 1o grau, para um melhor...
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