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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Notas de aula Professor: Altemir José Borges

Curitiba Agosto de 2006

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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Definição: Chama-se equação diferencial à equação que possui as derivadas ou diferenciais de uma ou mais variáveis dependentes, em relação a uma ou mais variáveis livres. Exemplos: dy a) = 3x − 1 dx d2y dy b) − 7 + 12 y = 6e 5 x 2 dx dx
d2y  dy  c)   dx 2  − 5 dx  = cos x      ∂z ∂z −x = 3 xyz d) ∂x ∂y Classificação: A equação será chamada de ordinária se as variáveis dependentes forem função de uma única variável livre, caso contrário, serão chamadas de equações diferenciais parciais. As equações dos exemplos a, b e c anteriores são equações diferenciais ordinárias e a equação do exemplo d é uma equação diferencial parcial.
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Ordem: Chama-se ordem de uma equação diferencial à ordem da derivada de maior ordem. As equações a) e d) são de primeira ordem, já os exemplos b) e c) são de segunda ordem. Grau: Grau é o maior expoente da derivada de maior ordem. As equações a, b e d são de primeiro grau e o exemplo c é do terceiro grau. Solução: É uma função que quando substituída na equação diferencial a transforma numa identidade. As soluções podem ser: solução geral, particular ou singular. Chama-se solução geral à família de curvas integrais que verifica a equação diferencial e possui constantes arbitrárias. Chama-se solução particular de uma equação diferencial à solução obtida a partir da solução geral impondo condições iniciais ou de contorno. Geralmente as condições iniciais serão dadas para o instante inicial, já as condições de contorno aparecem quando nas equações de ordem superior os valores da função e de suas derivadas são dadas em pontos distintos. Por exemplo: Resolver a equação diferencial ordinária (EDO) 5 y ' '+ y ' = −6 x , sujeita às condições iniciais y(0) =2 e y’(0) = 3, ou resolver a EDO 5 y ' '+ y ' = −6 x , sujeita às condições de contorno y(0)=2 e y’(1)=3. Chama-se solução singular de uma equação