Ocilações Forçadas

Depois de ter visto como são as oscilações amortecidas, agora você pode facilmente entender as oscilações forçadas. Aqui vou ignorar a dissipação e apenas introduzir uma força oscilante ao sistema massa-mola. A equação ao longo do eixo fica assim, por exemplo,

onde é a massa do bloco que está preso à mola de constante elástica e é a amplitude da força externa oscilante aplicada ao bloco de massa ao longo do eixo A força é aplicada com uma frequência angular Como é usual, vou definir a frequência natural do sistema massa-mola como e, portanto,

Seja com e variáveis reais. Note que a equação de movimento que queremos resolver,

pode ser obtida tomando a parte real de ambos os membros da seguinte equação diferencial da variável complexa

Essa mesma equação também pode ser escrita assim:

Veja que interessante a propriedade seguinte:

isto é,

Seja, portanto, a função auxiliar

Então, a equação diferencial que estamos querendo resolver,

pode ser escrita em termos da função auxiliar como

Essa equação diferencial é de primeira ordem, sendo possível resolvê-la com uma só integração. Antes de prosseguir com a integração, entretanto, convém notar que podemos multiplicar ambos os membros dessa equação por

Note também que

e, portanto, a equação agora fica

isto é, lembrando da regra para obter a derivada do produto de duas funções,

que é bem fácil de integrar. O resultado da integral dos dois membros dessa equação é

onde é uma constante complexa arbitrária. Multiplicando ambos os membros dessa equação por resulta em

Para encontrar lembramos que

e, usando o resultado acima para resolvemos mais uma equação diferencial ordinária de primeira ordem:

Procedemos analogamente ao caso da equação para que resolvemos acima e multiplicamos ambos os membros dessa equação por

isto é,

A integração de ambos os membros com respeito à variável dá:

onde é outra constante complexa arbitrária. Podemos agora