Números complexos

Números complexos

Definição

O fato da equação x2+1=0 não ser satisfeita por nenhum número real levou à definição dos números complexos. Ao tentar-se calcular as raízes da equação da forma convencional, se chegaria ao seguinte problema:

x2+1=0 x2=-1 x=±-1 Obviamente não existe -1 no conjunto dos números reais. Para solucionar esse problema foi definida a unidade imaginária, denotada por i, como sendo o número tal que i2=-1. Obviamente este não é um número real, uma vez que seu quadrado é negativo.
Um número complexo z é um número da forma:

z=x+iy

Observa-se que na sua forma geral, um número complexo é composto por duas partes, uma real e a outra imaginária, então se diz que Rez=x e Imz=y, respectivamente. Se x=0, diz-se que z é um número imaginário puro, e se y=0, z é um número real puro, ou simplesmente um número real.

Representação Cartesiana Os números complexos podem ser representados através de pontos no plano cartesiano. Esse plano é denominado plano complexo. No plano complexo grafamos a parte imaginária do número complexo sobre o eixo vertical (chamado de eixo imaginário) e a parte real sobre o eixo horizontal (chamado de eixo real), conforme mostra a figura abaixo:

Desta Maneira, um número complexo, pode ser denotado por um par ordenado (x,y), onde fixa implícito que a primeira componente é parte real do número complexo e a segunda componente, obviamente, é sua parte imaginária. Exemplo: Um número complexo z=3+2i pode ser escrito como z=(3,2). O valor absoluto ou módulo, que é o valor do comprimento do vetor gerado no plano cartesiano através do par ordenado (a,b), é chamado de módulo de z (|z|) ou simplesmente r, dá-se da seguinte forma:

z=r=x2+y2

Forma Polar Introduzindo as coordenadas polares r e θ no plano complexo, de modo que x=rcos(θ) e y=rsin(θ), o número z=x+iy pode ser escrito como:

z=rcosθ+irsenθ=rcosθ+isinθ

Esta forma é chamada de forma polar ou trigonométrica de um número complexo. Na