Números Complexos

Denomina-se número complexo z toda expressão da forma z = a + bi, onde “a” e “b” são números reais e i2 = – 1.

Obs.: i é denominada unidade imaginária.

Forma Algébrica

Em que: “a” é a parte real de “z” e “b” é a parte imaginária de “z”.

Igualdade

Adição

Multiplicação

Conjugado

Sendo um número complexo, define-se como complexo conjugado de “z” o complexo .

Divisão

Potências de “i”

Para n  IN, temos:

i4n = 1 i4n+1 = i i4n+2 = – 1 i4n+3 = – i

Representação Geométrica

Todo número complexo z = a + bi pode ser associado a um ponto P ( a ; b ) do plano cartesiano.

O ponto “P” é denominado afixo ou imagem de “z”.
A distância “” de “P” até a origem “O” é denominada módulo de “z” e indicamos:
Denomina-se argumento do complexo “z” a medida do ângulo “”, formado pelo semi-eixo real positivo Ox com OP, medido no sentido anti-horário, conforme indicado na figura:

Forma Trigonométrica ou Polar

onde “” é o módulo e “” é o argumento de “z”.

Multiplicação

Divisão

Potenciação

Radiciação

As raízes n-ésimas de “z” têm módulo igual a e seus argumentos são obtidos da expressão , substituindo k por números inteiros de 0 até n – 1 .

Exercícios

1. ( UFSM-RS ) Para que o número z = ( x – 2i ).( 2 + xi ) seja real, devemos ter ( x  IR ) tal que:

a) x = 0
b) x =  1/2
c) x =  2 x
d) x =  4
e) n.d.a.

2. ( UFPA ) Qual é o menor valor de m, real, para que o produto ( 2 + mi ).( 3 + i ) seja um imaginário puro?

a) 5
b) 6 x
c) 7
d) 8
e) 10

3. ( PUC-SP ) Se f(z) = z2 – z + 1, então f(1 – i) é igual a:

a) i
b) – i + 1
c) i – 1
d) i + 1
e) – i x

4. ( UCMG ) O número complexo z, tal que 5z + = 12 + 16i, é igual a:

a) – 2 + 2i
b) 2 – 3i
c) 1 + 2i
d) 2 + 4i x
e) 3 + i

5. ( Mack-SP ) Para i = , os valores reais de a e b tais que = 3 + bi