Notas de aula - Anéis e corpos, introdução

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Curso de Algebra
II

Introdu¸c˜ ao Estas notas incluem com algum pormenor os principais conceitos e resultados apresentados nas aulas te´oricas, completados aqui e acol´a com alguns exemplos, observa¸co˜es e exerc´ıcios. Espera-se que sejam um auxiliar valioso para o curso, que permita uma maior liberdade nas aulas, na explica¸ca˜o te´orica dos assuntos, substituindo uma exposi¸ca˜o com grande pormenor formal por uma que realce a motiva¸ca˜o e os aspectos intuitivos desses mesmos conceitos e respectivas interrela¸co˜es, e que por outro lado sejam um est´ımulo `a aten¸ca˜o e participa¸ca˜o activa dos estudantes.
Devem ser encaradas como um mero gui˜ao das aulas, e portanto n˜ao s˜ao um substituto das mesmas nem sequer da bibliografia indicada.
Assumem-se alguns preliminares, nomeadamente:
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• mat´eria dada na disciplina de Algebra
I.
• conhecimentos b´asicos de Teoria dos N´ umeros. ´
Linear.
• conhecimentos gerais de Algebra
• a “maturidade matem´atica” que se espera de estudantes do terceiro ano da licenciatura em Matem´atica.
No desenvolvimento do programa seguir-se-`a a recomenda¸c˜ao de fundo expressa no programa m´ınimo da disciplina:
“... que se fa¸ca uma abordagem com um grau de abstrac¸c˜ ao algo apurado, de acordo com o facto de se tratar de uma disciplina do terceiro ano da licenciatura, mas sem esquecer que a ´algebra pode apresentar-se com um olhar nas aplica¸c˜ oes, que os seus temas, ‘cl´assicos’, ou ‘modernos’, foram e v˜ao sendo originados por problemas concretos, e que alguns dos seus t´opicos mais interessantes tˆem origem em quest˜oes complexas da geometria e da an´alise. Nesta perspectiva, dever´a incluir-se no programa a resolu¸c˜ ao de problemas cl´assicos sobre as constru¸c˜ oes com r´egua e compasso, a resolu¸c˜ ao de equa¸c˜ oes atrav´es de radicais e diversas aplica¸c˜ oes modernas da teoria dos corpos finitos `a teoria dos c´odigos.”

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Aula 1 - Algebra
II

1. An´ eis e Corpos
Uma