Algebra

Disponível somente no TrabalhosFeitos
  • Páginas : 21 (5108 palavras )
  • Download(s) : 0
  • Publicado : 18 de outubro de 2012
Ler documento completo
Amostra do texto
Universidade Federal de Santa Catarina – UFSC




Centro de Ciências Físicas e Matemáticas - CFM




Departamento de Matemática – UFSC





Curso de Especialização em Matemática – Formação de Professores – Modalidade à Distância









Guia de Estudos




Disciplina: Álgebra









Oscar Ricardo Janesch
Dezembro de 2009Universidade Federal de Santa Catarina

Campus Universitário – Trindade – Caixa Postal 476
CEP 88040-900 – Florianópolis - SC




Reitor: Álvaro Toubes Prata
Vice-Reitor: Carlos Alberto Justo da Silva
Pró-Reitoria de Ensino de Graduação: Yara Maria Rauh Muller
Pró-Reitoria de Pesquisa e Extensão: Débora Peres Menezes
Pró-Reitoria de Pós-Graduação: Maria Lúcia de Barros CamargoPró-Reitoria de Desenvolvimento Humano e Social: Luiz H. Vieira Silva
Pró-Reitoria de Infra-Estrutura: João Batista Furtuoso
Pró-Reitoria de Assuntos Estudantis: Cláudio José Amante
Centro de Ciências Físicas e Matemáticas: Tarciso Antônio Grandi
Departamento de Matemática: Ruy Coimbra Charão
Coordenação Acadêmica: Neri Terezinha Both Carvalho














Disciplinas e Professores doCurso de Especialização:




Álgebra: Oscar Ricardo Janesch

Álgebra Linear: Roberto Corrêa da Silva

Análise: Eliezer Batista

Tópicos de Cálculo: Silvia Martini de Holanda Janesch











Coordenadora do Curso de Especialização em Matemática:

Neri Terezinha Both Carvalho





Endereço Eletrônico: www.ead.ufsc.br

Apresentação


O conceito da estruturaalgébrica chamada anel, fundamental para a axiomatização da álgebra, surgiu como consequência da sistematização dos conjuntos numéricos. A primeira tentativa foi feita por Benjamin Peacok(1791-1858) em 1830, mas não se mostrou consistente. Porém, em 1914, o alemão A. Franenkel(1891-1965) apresentou a definição formal de anel que usamos hoje.

Grosseiramente falando, um anel é um conjunto não vazio[pic] no qual estão definidas duas operações que satisfazem axiomas pré-estabelecidos. As escolha destes axiomas é feita de forma que seja possível efetuar as operações em [pic] com relativa facilidade. Por exemplo, o conjunto dos números inteiros [pic], com as operações usuais de adição e multiplicação, é um anel.

A definição de anel surge da necessidade de saber em quais conjuntos temos boaspropriedades aritméticas que permitem fazer contas. Tomando o conjunto [pic] como “modelo” para chegarmos ao conceito de anel, nos deparamos com as seguintes perguntas:
• Qual o conjunto mínimo de propriedades da adição e da multiplicação em [pic], a partir das quais é possível demonstrar as demais propriedades aritméticas de [pic]?
• Que propriedades as operações de um conjunto [pic]devem satisfazer para que possamos fazer contas em [pic] de forma semelhante a que fazemos em [pic]?

As respostas para as perguntas acima levaram aos seis axiomas de anel. Isto é, um conjunto mínimo de propriedades que as operações de adição e de multiplicação em [pic] (e de qualquer outro conjunto com duas operações) devem satisfazer para que possamos deduzir outras propriedades.

Seja [pic]um conjunto onde estão definidas duas operações que satisfazem os seis axiomas de anel. Chamaremos [pic] de anel. Suponha que a partir dos seis axiomas de anel consigamos provar outras quinze propriedades operacionais em [pic]. Como usamos apenas os seis axiomas de anel para deduzir estas quinze novas propriedades, elas valem não apenas para [pic], mas para todo conjunto com duas operações quesatisfaçam os seis axiomas de anel.

Note que isso leva a uma mudança de enfoque. Deixamos de estudar um conjunto baseados na natureza de seus elementos, e passamos a estudá-lo com base nas propriedades de suas operações. Veremos que este procedimento é útil para obter informações sobre vários conjuntos.

Conjuntos com operações que satisfazem axiomas determinados previamente são chamados...
tracking img