Newton Raphson

1. Método de Newton-Raphson

O Método de Newton-Raphson é utilizado para resolver sistemas de equações não-lineares:

O sistema pode ser representado de forma vetorial:

onde:

Como viu-se no Método de Newton para equações escalares, a cada iteração determina-se a reta tangente ao gráfico da função no ponto inicial. No caso de sistemas de equações, determina-se o hiperplano tangente ao politopo determinado pelo sistemas de equações no ponto inicial. O processo é semelhante ao caso escalar, no qual utiliza-se da expansão em Série de Taylor vetorial no ponto .

onde:

é chamada de matriz Jacobiana.

Igualando-se a zero, chega-se ao processo iterativo para sistemas de equações não-lineares:

que de forma genérica torna-se:

Fazendo , tem-se:

Pré-multiplicando-se a equação vetorial por , tem-se:

Observe que tem-se um sistema de equações lineares. Em cada iteração do Método de Newton para sistemas de equações resolve-se um sistema de equações lineares.

2. Caso utilizado

Criação de uma simulação computacional para executar a permeação de hidrogênio em reator com membrana de paládio. Será utilizado um trabalho de Mestrado da Universidade Federal de Uberlândia e códigos criados por Silva(2008) em Fortran como base. No trabalho foi solucionado as equações utilizando o método de Newton-Raphson mas a quantidade de iterações não foi usada pois não era foco do trabalho. Foi então adequado os programas para que a quantidade fosse considerada e também mostrado o valor da raiz.

3. Equações

Será utilizado o método de Newton Raphson na linguagem Fortran em 6 equações para verificar a quantidade de iterações para achar a raiz.

Tabela 3.1 – Iterações do problema
I
X(I)
F
FH
FD
FADS
FDES
1
0.811347E+00
-0.413018E+03
-0.557188E+02
-0.557188E+02
0.377813E+04
0.523409E+00
2
0.104513E-01
0.216334E+04
-0.557188E+02
-0.557188E+02
0.377813E+04
0.523409E+00
3