Método de Newton Raphson

FUNDAMENTOS E PRINCIPAIS APLICAÇÕES TECNOLÓGICAS DE MÉTODOS DE DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO NUMÉRICA

Resumo
Neste artigo, iremos abordar os método de Derivação e Integração numérica. Tendo como ênfase as aplicações tecnológica desse métodos.
A Derivação numérica tem como base o método de Newton-Raphson, que por sua vez pode ser aplicada em diversas áreas tecnológicas como o controle das resistências elétricas de um gerador eólico, assim como a integração numérica tem como um grande apoio para resolução de quase todos os procedimentos que veremos a seguir.

• Método de Newton-Raphson
Escolha um ponto sobre o eixo dos . Calcule o ponto .A partir desse ponto, calcule sua tangente. Ache o ponto em que a tangente encontra o eixo dos . Repita esse processo dentro das normas pré-estipuladas grande número de vezes (o ideal seria infinitas vezes), para que o seu resultado se aproxime muito da raiz da função.
Vamos analisar para achar alguma fórmula. Para calcularmos sua tangente, usaremos dois artifícios: a derivada par achar seu coeficiente angular e a equação da reta escrita como
Começando, substituímos pelo valor conhecido, ou seja, e fazendo . Ou seja, . Como desejamos achar a raiz dessa equação, temos , obtendo O que podemos resolver em para obter o nosso próximo valor, qual Quando repetirmos esse processo para , teremos a mesma fórmula, que é chamada de fórmula de iteração no método de Newton, que pode ser generalizado para Também podemos achar esse método por série de Taylor, expandindo a função em torno de , sendo esse uma aproximação para a raiz da função, tomando como um polinômio de grau 2, para acharmos um , que será uma aproximação melhor, tendo o erro de aproximação, suficientemente pequeno. Fazendo Mas, como é suficientemente pequeno, seu quadrado é bem menor, tendendo a zero. Então, obtemos

Que é o resultado que queríamos obter (pode encontrar a base completa para