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Título: Unidade 02

Autor: Jonas Lachini

CÁLCULO II – 90 HORAS UNIDADE II – TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO Notas de aula 2 Introdução Nesta unidade, vamos estudar alguns métodos para achar antiderivadas de uma função. São técnicas que podemos seguir para determinar integrais indefinidas. Ao contrário do que acontece para a derivação, em que aplicamos sistematicamente regras para encontrar a derivadade uma função, não existem procedimentos sistemáticos para achar a antiderivada de uma grande quantidade de funções percorrendo o caminho inverso das fórmulas de derivação. Apesar disso, há muitas coisas que podemos fazer no cálculo de integrais indefinidas ou de antiderivadas e é extremamente importante que você adquira certa habilidade técnica para efetuar integrações sempre que elas sejampossíveis. Determinar integrais indefinidas é um excelente exercício para desenvolver, entre outras qualidades, um bom traquejo algébrico, a capacidade de organização, a capacidade de observação e a criatividade, uma vez que a integração é mais uma arte do que um procedimento sistematizado. É também uma boa oportunidade para você melhorar sua percepção a respeito de derivadas e de aprimorar suahabilidade no uso das regras de diferenciação. Vale a pena investir neste estudo! Orientações • • • • Estude atentamente as Notas de Aula 2. Analise com bastante cuidado os exemplos apresentados e os exercícios resolvidos. Estude este assunto em um livro de Cálculo. O Questionário 2 pode ajudá-lo nessa tarefa. Resolva os Exercícios 2. As questões neles propostas servem para você fixar conceitos emelhorar sua habilidade em lidar com integrais. Não deixe de esclarecer suas dúvidas. Para isso, recorra ao correio acadêmico, aos chats ou, melhor ainda, a seu grupo de estudos de Cálculo. Leia sempre o quadro de avisos!

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2.1 – Antiderivada Encontrar antiderivadas ou determinar integrais indefinidas é como achar a raiz quadrada de um número: se escolhermos o número 81, que éum quadrado perfeito, calculamos facilmente sua raiz quadrada, 81 = 9 , porque sabemos que 9 2 = 81 . Contudo, se escolhermos um número qualquer como, por exemplo, 538, precisaremos de uma calculadora para determinar sua raiz quadrada: 538 ≈ 23,1948 .

De modo semelhante, se escolhermos uma função que sabemos ser a derivada de uma outra, podemos encontrar sua antiderivada, sem dificuldade.Sabemos, por exemplo, que f ( x ) = 2x é a derivada da função F( x ) = x 2 ; isso nos permite afirmar que F( x ) = x 2 é uma antiderivada de f ( x ) = 2x porque d 2 d 2 ( x ) = 2 x . Usando o operador ∫ L dx , escrevemos: ∫ 2x dx = x 2 + C porque ( x + C) = 2 x . dx dx Lembre-se de que uma função tem uma infinidade de antiderivadas. Entretanto, se escolhermos uma função qualquer, nem sempre é possíveldeterminar sua antiderivada. Não temos processos para determinar uma antiderivada para muitas funções como, por exemplos, para f ( x ) = sen x 2 e 1 . g(x ) = ln x
Da mesma maneira que, na raiz quadrada, o sinal substitui a pergunta “qual é o número cujo

quadrado é ...?”, na integral indefinida, o operador derivada, em relação a x, é ...?”.

∫ L dx substitui a pergunta “qual a função cuja2.2 Integrais imediatas
Quando derivamos f ( x ) = x 3 , encontramos f ′( x ) = 3 x 2 . Isso nos permite dizer que x 3 é uma x3 é uma antiderivada de x 2 porque 3 d  x3  1 d 3 1 x n +1   = × ( x ) = × 3x 2 = x 2 . De modo geral, uma antiderivada de x n é , para n ≠ −1 . dx  3  3 dx 3 n +1   d  x n +1  (n + 1) x n n Para verificar que essa afirmação é verdadeira, basta usar a derivação:  n + 1 = n + 1 = x .  dx   Usando a notação de integral indefinida e o fato de que a integral indefinida é uma família de funções, temos: antiderivada de 3 x 2 . Se dividirmos por 3, podemos perceber que
n ∫ x dx =

x n +1 + C , se n ≠ −1 n +1

Quando n = −1 , temos x −1 =

1 d 1 que é a derivada de f ( x ) = ln x . Para x > 0 , e, ( ln x ) = x dx x 1 d 1 1 portanto, ∫ dx = ln x...
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