Métodos numéricos

Introdução

O estudo de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) é de fundamental importância nas diversas áreas da Ciência e Engenharia. Podemos destacar aqui a aplicação em Engenharia Mecatrônica, como na Modelagem de Sistemas Dinâmicos, vibração, mecânica dos fluidos (equações simplificadas de Navier-Stokes) e na resolução de circuitos elétricos.
A compreensão da solução analítica não é o suficiente para um aluno de graduação ou profissional da área, sendo essencial o conhecimento de métodos numéricos práticos para se calcular numericamente a solução de uma EDO, que em muitos casos não são de fácil solução analítica e espera-se que o profissional esteja preparado para diversas situações possíveis.
Desta forma, esse trabalho prático tem como objetivo a modelagem e implementação da solução de uma EDO de segunda ordem a partir do método numérico de Euler Modificado.

Método de Euler Modificado

Sendo um dos métodos mais antigos desenvolvidos para a resolução de EDOs, o método de Euler apresenta grande simplicidade se comparado a outros métodos comuns, sendo esta sua principal vantagem. Entretanto, este método não fornece grande precisão em suas aproximações, sendo necessário um maior número de iterações para se obter grande precisão em alguns casos. Desta forma, o método de Euler não é amplamente utilizado em aplicações mais complexas quanto outros métodos desenvolvidos posteriormente. O método funciona por passos. Sabendo a condição inicial, é possível encontrar a próxima, ou seja, é usado o valor anterior para se encontrarem os valores seguintes. O método de Euler é, em síntese, a expansão de primeiro grau da série de Taylor, já que o termo f(x,y) é igual a y’, e h é x(j+1) - xj. Esse método aproxima o valor de y(j+1) pelo valor da reta tangente a y no ponto xj, essa reta possui coeficiente angular f(xj,yj), já que f(xj,yj) = y’(xj)) e portanto pode ser calculada facilmente. Equação de Euler:

Euler modificado apresenta uma nova componente,