Métodos Computacionais

Trabalho prático de Métodos Computacionais
Exercício 1:

Resolução:

O gráfico da função f(x) = é :

Analiticamente, no intervalo [a,b] = [0,2] , em que a=0 e b=2 calculamos o f(0) e o f(2) : f (0) = f (2) =

Como f é continua em [0,2], e f(0)*f(2) ≤ 0,pelo Teorema do Valor Médio existe pelo menos um zero no intervalo [0,2]. f´(x) =
Como f´(x ) > 0, Vx € [0,2],a função f é crescente e então tem um único zero em [0,2].

a) O Método de Bisecção:

1ª Iteração x1 = 1.0000
2ª Iteração x2 = 1.5000
3ª Iteração x3 = 1.7500
4ª Iteração x4 = 1.6250
5ª Iteração x5 =1.6875
6ª Iteração x6 = 1.6563
7ª Iteração x7 = 1.6719
8ª Iteração x8 = 1.6641
9ª Iteração x9 = 1.6680
10ª Iteração x10 = 1.6699
11ª Iteração x11 = 1.6709
12ª Iteração x12 = 1.6714
13ª Iteração x13 = 1.6716
14ª Iteração x14 = 1.6718
15ª Iteração x15 = 1.6717

A partir da 15ª Iteração o método de bissecção converge para o zero da função com um erro inferior a 0.0001.

b) O método de Newton com x0=0 vem:

1ª Iteração x1 = 0
2ª Iteração x2 = -3.0000
3ª Iteração x3 = -1.9615
4ª Iteração x4 = -1.1472
5ª Iteração x5= -0.0066
6ª Iteração x6= -3.0004
7ª Iteração x7= -1.9618
8ª Iteração x8= -1.1474
9ª Iteração x9= -0.0073
10ª Iteração x10= -3.0005
11ª Iteração x11= -1.9619
12ª Iteração x12= -1.1475
13ª Iteração x13= -0.0074
14ª Iteração x14= -3.0005
15ª Iteração x15= -1.9619
16ª Iteração x16= -1.1475
17ª Iteração x17= -0.0074
18ª Iteração x18= -3.0005
19ª Iteração x19= -1.9619
20ª Iteração x20 = -1.1475

O método de newton para x0=2.5 vem:

1ª Iteração x1 = 2.5000
2ª Iteração x2 = 1.9296
3ª Iteração x3 = 1.7079
4ª Iteração x4 = 1.6726
5ª Iteração x5 = 1.6717

Tendo em conta a função f(x)= e a sua derivada f´(x) = podemos estudar a convergência do Método de Newton.
A função converge se e só se:

1) f pertence [a,b];
2) f(a)*f(b) < 0;
3) f´(x) diferente de 0;
4)