método de cross

ENGENHARIA CIVIL
TEORIA DE ESTRUTURAS II
3º Ano / 2º Semestre – 2001/2002

Prof. João Miranda Guedes (DEC)

MÉTODO DE CROSS
Seja a seguinte estrutura hiperstática:

E,I

R1

p

R2

L

Os momentos nos apoios têm valor conhecido, apresentado em tabelas apropriadas, neste caso: R1 = −R 2 = −

p ⋅ L2
12

Consideremos agora na estrutura anterior um apoio duplo intermédio, i.e. duas barras:

E,I

R1

L1

p

R3

L2

=
R20= R’20+ R’’20

R10

p

R30

M2=-R20

R12

R32

+
L1

Método de Cross

L2

L1

L2

1

Determinemos os esforços momentos flectores nas extremidades das barras por aplicação do Método dos Deslocamentos. Neste caso, já conhecemos os esforços nas barras correspondentes à fixação do apoio fictício:

R20= R’20+ R’’20

R10

p

R30

p

R10

R30

R’20

=

+
R’’20

L1

L2

e será apenas necessário determinar os esforços provocados pelo momento M2 concentrado aplicado na direcção 2:

∆2=1

R*12

R*32

k’22

k’’22
L1

L2

′
′′
[K 22 + K 22 ] ⋅ {∆ 2 } + {0} = {M 2 }
 p ⋅ L2 

− −

12 
M2


∆2 =
=
′
′′
K 22 + K 22
 E ⋅I 
 E ⋅I 
4 ⋅
 + 4 ⋅

L 1 
L 2


i.e.

R32

∆2

R12
R’22

+
R’’22

′
K 22
⋅ M2
′ + K 22
′′
K 22
′′
K 22
′′
′′
R 22 = K 22 ⋅ ∆ 2 =
⋅ M2
′
′′
K 22 + K 22
′
′
R 22 = K 22 ⋅ ∆ 2 =

Método de Cross – J. Miranda Guedes (DEC – FEUP) – 2001/2002

2

O momento flector na extremidade das barras é proporcional à rigidez à rotação das barras no nó. Somando então as duas respostas e substituido o valor M2, temos: p ∆2

R1

R3

R’2

+
R’’2

′
K 22
⋅ (− R 20 )
′
′′
K 22 + K 22
′′
K 22
′′
′′
′′
′′
R 2 = R 20 + R 22 = R 20 +
⋅ (− R 20 )
′
′′
K 22 + K 22
′
′
′
′
R 2 = R 20 + R 22 = R 20 +

Os momentos flectores na extremidade das barras são calculados subtraindo aos momentos de encastramento na situação do apoio fictício imóvel, uma