Modulo matrizes

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MÓDULO 5 MATRIZES VIDA

I. DEFINIÇÃO : Uma matriz de ordem m x n é uma tabela de números reais dispostos em m linhas e n colunas.
As matrizes são representadas por letras maiúsculas do nosso alfabeto e seus elementos posicionados nas linhas e colunas no interior de parênteses ou colchetes.

Quando olhamos uma tabela como a que apresentamos a seguir, nos deparamos com uma matriz:
Cargahorária semanal de Colégio X – São Paulo

| 5ª série | 6ª série | 7ª série | 8ª série |
Português | 4 | 4 | 4 | 4 |
História | 3 | 3 | 3 | 3 |
Geografia | 2 | 2 | 3 | 3 |
Ciências | 2 | 3 | 3 | 3 |
Matemática | 4 | 4 | 4 | 4 |

Observe que uma matriz tem linhas e colunas. No caso acima, 5 linhas e 4 colunas. Esta tabela especifica a carga horária semanal do colégio X de SãoPaulo. Pela tabela concluímos que a carga horária semanal de Português, por exemplo, é de 4 h.
Vejamos os exemplos abaixo:
A = é uma matriz 3 2 ( dizemos que a matriz tem 3 linhas e 2 colunas )
B = é uma matriz 2 2 ( dizemos que a matriz tem 2 linhas e 2 colunas )
Em geral, uma matriz A com m linhas e n colunas é representada pelo símbolo A =
Exemplo: Vamos escrever a matriz A = ,sendo aij = i + j. Uma matriz do tipo 2 3 pode ser genericamente representada por
A = .
Utilizando a regra de formação de seus elementos, encontramos:

a11 = 1 + 1 = 2 a12 = 1 + 2 = 3 a13 = 1 + 3 = 4
a21 = 2 + 1 = 3 a22 = 2 + 2 = 4 a23 = 2 + 3 = 5

Assim, a matriz pedida é A =

Exercícios:

1. A matriz M representa as distâncias (em km) entre as cidades A, B e C:
M =Cada elemento aij dessa matriz fornece a distância entre as cidades i e j. Se a cidade A é representada pelo número 1, B por 2 e C por 3. Determine as distâncias entre A e B, C e B e A e C.

.2.(UF-RJ) Antônio, Bernardo e Cláudio saíram para tomar chope, de bar em bar, tanto no sábado quanto no domingo.
As matrizes a seguir resumem quantos chopes cada um consumiu e como a despesa foidividida:

S = e D =

S refere-se às despesas de sábado e D às de domingo.
Cada elemento aij nos dá o número de chopes que i pagou para j, sendo Antônio o número 1, Bernardo o número 2 e Cláudio o número 3 (aij) representa o elemento da linha i, coluna j de cada matriz). Assim, no sábado Antônio pagou 4 chopes que ele próprio bebeu, 1 chope de Bernardo e 4 de Cláudio (primeira linha da matrizS).
a) Quem bebeu mais chope?
b) Quantos chopes Cláudio ficou devendo para Antônio?

Respostas

1.A e B: 35 km A e C: 57 km B e C: 40 km

2. a) Cláudio (14 chopes) b) 2

II. IGUALDADE DE MATRIZES
Dadas duas matrizes m n dizemos que os elementos que ocupam a mesma posição são correspondentes.
No exemplo (m = n = 2), sendo A = e B = ,
dizemos que a11 e b11 sãocorrespondentes, o mesmo ocorrendo com a12 e b12; a21 e b21; a22 e b22.
Duas matrizes m n são iguais quando todos os seus elementos correspondentes são iguais.

Exemplo: Vamos determinar os valores de a, b, c, d para que se tenha:

Igualando os elementos de mesma posição, segue que:
a = 4 b+1 = –1 b = –2 c–4 = 6 c = 10 d+3 = 8 d = 5

Exercícios

1. Determine a, b, c e d queverifiquem: .

2. Determine os valores de p e q que satisfazem a igualdade:

Respostas

1. a = –2; b = 5; c = 3; d = 1 2. p = 1 e q = –1

III. OPERAÇÕES COM MATRIZES

III.I ADIÇÃO DE MATRIZES
Dadas duas matrizes, A = (a)e B = (b), a matriz soma A + B é a matriz C = (c), em que cij = aij + bij para todo i e todo j. A matriz soma C é do mesmo tipo que A e B e é tal que cada um de seuselementos é a soma de elementos correspondentes de A e B, como podemos observar na soma:

III.II MATRIZ OPOSTA

Seja a matriz A = (a). Chama-se oposta de A a matriz representada por –A, tal que A+(–A) = O, em que O é a matriz nula do tipo m n.
Da definição, decorre que –A é sempre obtida de A trocando-se o sinal de cada um de seus elementos.
Se A = , então – A = ;
Se B =, então –B = ....
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