Metodos numericos teoria dos erros

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Curso: Engenharia da Computação 3º ano
Disciplina: Métodos Numéricos
Prof. Katia C S Paulo


1ª Apostila



O que é o Cálculo Numérico?

Os Métodos Numéricos correspondem a um conjunto de ferramentas ou métodos usados para se obter a solução de problemas matemáticos de forma aproximada. Esses métodos se aplicam a problemas que não apresentam uma solução exata, portantoprecisam ser resolvidos numericamente.

Exemplo:

Seja um circuito elétrico composto de uma fonte de tensão (uma pilha, por exemplo) e um resistor, como ilustrado na Figura 1. Digamos que desejamos obter a corrente que circula no circuito, dado o valor da tensão V e da resistência R. O primeiro passo é formular um modelo matemático para o nosso sistema físico (o circuito), e encontrar a solução doproblema representado por esse modelo.

Figura 1: circuito elétrico composto de uma fonte de tensão e um resistor.

No caso do circuito da Figura 1, o modelo matemático também é bastante simples.
Utilizando-se a Lei de Kirchoff (não se preocupe com essa lei caso você não a conheça), teremos a seguinte equação para o circuito:

V − R ⋅ i = 0

Esse é o nosso modelo matemático para ocircuito (sistema físico). O modelo apresenta uma equação bastante simples que tem uma solução exata. Portanto, nosso problema (encontrar a corrente elétrica do circuito) pode ser resolvido de maneira exata, cuja solução é dada por:

Por exemplo, se V=10 V e R=100 Ω, teremos que i=0,1 A.

Como esse problema tem uma solução exata, não é preciso utilizar os métodos do cálculo numérico para resolve-lo.Porém, digamos que um outro componente eletrônico seja incluído no circuito: um diodo semicondutor. Esse dispositivo tem uma curva característica, isto é, a tensão nesse componente em função da corrente, que é dada por:

onde k e Is são constantes, q é a carga do elétron e T a temperatura do dispositivo. Essa equação corresponde ao modelo matemático do diodo (não se preocupe em entender estaequação, pois isto é só um exemplo).
Portanto, ao se incluir o diodo no circuito da Figura 1, tem-se a seguinte equação
descrevendo o comportamento da corrente elétrica no circuito:

A inclusão desse novo componente no circuito tornou nosso problema mais complicado e de difícil solução analítica. O que isso quer dizer? Tornou-se difícil se obter uma expressão para i, principalmente quandocomparado ao caso anterior, quando tínhamos simplesmente i=V/R.
Como resolver esse problema então? Como obter o valor de i? A solução está na utilização de métodos numéricos que serão aprendidos neste curso.

A importância da Disciplina de Métodos Numéricos

Ao resolver um problema matemático numericamente, o mais comum é o profissional utilizar um pacote computacional. Porém, ele terá que tomar umasérie de decisões antes de resolver o problema. E para tomar essas decisões, é preciso ter conhecimento de métodos numéricos. O profissional terá que decidir:

* Pela utilização ou não de um método numérico (existem métodos numéricos para se resolver este problema?);
* Escolher o método a ser utilizado, procurando aquele que é mais adequado para o seu problema. Que vantagens cada métodooferece e que limitações eles apresentam;
* Saber avaliar a qualidade da solução obtida. Para isso, é importante ele saber exatamente o que está sendo feito pelo computador ou calculadora, isto é, como determinado método é aplicado;

1- Introdução
A fim se realizarmos de maneira prática qualquer operação com números, nós precisamos representá-los em uma determinada base numérica. O queisso significa?
Vamos tomar como exemplo o número √2. A fim de calcularmos, por exemplo, o valor de √2 - 1, nós precisamos escrever o número √2 de alguma outra forma, caso contrário não é possível realizar essa operação.
Podemos escrevê-lo na base decimal, por exemplo, que é a base mais usada na história da humanidade (graças a nossa anatomia). O valor de √2 na base decimal pode...
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