metodos dos minimos trabalho

Método dos Mínimos Quadrados

O Método dos Mínimos Quadrados é uma técnica de otimização matemática que procura encontrar o melhor ajustamento para um conjunto de dados tentando minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre a curva ajustada e os dados (tais diferenças são chamadas resíduos).
Um requisito implícito para o método dos mínimos quadrados trabalhar é que os erros em cada medida sejam distribuídos aleatoriamente com função densidade gaussianos, e que os resíduos sejam independentes.
A ideia do método de mínimos quadrados é construir uma estimativa para a verdadeira reta de regressão, tornando o menos possível a soma das diferenças (yi-ŷ) entre os pontos observados yi e o correspondente valor sobre a reta estimada ŷ (y chapéu).
Entretanto, como os pontos se situam acima e abaixo da reta estimada, as diferenças podem ser positivas ou negativas, e na soma podem anular-se, não refletindo o ajustamento.
O problema é contornado adotando-se o quadrado das diferenças. Sendo números positivos, esses quadrados refletem a qualidade do ajuste através de sua soma. Por isso, o método é chamado método dos mínimos quadrados.
A reta estimada tem a forma funcional: ŷ=a+b.x onde: ŷ é o estimador de ȳ; a e b são os estimadores de α e β.

Cálculo das estimativas
A representação gráfica a seguir apresenta os pontos amostrados e a reta de regressão estimada. O problema consiste, portanto, em minimizar a soma dos desvios, ou seja: Min ∑[yi – (a+b.xi)]2 A solução pode ser obtida derivando-se a expressão em relação a e b. ∂ ∑ [ yi - (a + b . xi )]2 = 2∑ (yi – a-b . xi )( -1) = 0 ∂a ∂ ∑ [ yi - (a + b . xi )]2 = 2∑ (yi – a-b . xi )( - xi) = 0 ∂b
A solução do sistema fornece: ∑x . ∑y b = ∑ x. y – n e a = ∑y – b . ∑x ∑ x2 – (∑ x) 2 n n n ou seja: b = Sxy e a = ȳ - b . ẋ Sxy
Exemplo:
Calcular, usando o método dos mínimos quadrados, a reta que ajusta o conjunto de