Metodo de gauss

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Cursos: Engenharia Agrícola, Engenharia da Produção, Matemática
Disciplina: Cálculo Numérico
Data: 9 de Agosto de 2005

Método de Eliminação de Gauss
1. Introdução
A resolução de sistemas de equações lineares e o cálculo de determinantes são dois exemplos de
problemas fundamentais da álgebra linear que foram estudados desde longa data. Leibnitz encontrou em
1693 a fórmula para o cálculo dedeterminantes, e em 1750 Cramer apresentou um método para resolver
sistemas de equações lineares, conhecida desde então como a Regra de Cramer, primeira pedra na construção
da álgebra linear e da teoria das matrizes. No inicio da evolução dos computadores digitais, o cálculo
matricial recebeu a atenção merecida. John von Neumann e Alan Turing eram os pioneiros mundialmente
famosos da ciência dacomputação, e introduziram contribuições notáveis para o desenvolvimento da álgebra
linear computacional. Em 1947, von Neumann e Goldstein pesquisaram os efeitos dos erros de
arredondamento na resolução de equações lineares. Um ano depois, Turing iniciou um método para
decompor uma matriz num produto de uma matriz triangular inferior com uma matriz escalonada (conhecida
como decomposição LU). Hoje, aálgebra linear computacional é uma área de muito interesse. Isto é devido
ao fato que este campo está reconhecido agora como uma ferramenta absolutamente essencial em muitas das
aplicações computacionais que requerem cálculos longos e difíceis de desenvolver manualmente, como por
o exemplo: em gráficos de computador, em modelagem geométrica, em robótica, etc..

2. Objetivo
Obter uma solução exata de umsistema de equações lineares da forma

AX = B ,

(1)

onde, A é uma matriz quadrada de ordem n, X e B são vetores coluna de ordem n x 1.
1. O método consiste em utilizar um número finito de transformações elementares e considerar
elementos da diagonal principal (não nulos) chamados pivôs.
2. Se, por exemplo, a ii ≠ 0 , a linha do pivô é mantida e os outros elementos da i-ésima coluna ficamzerados.
3. O transformado de um elemento que não aparece na linha nem na coluna do pivô é igual a este
elemento menos o produto contradiagonal dividido pelo pivô.
4. O processo repete-se escolhendo novos pivôs (não nulos) que não figurem na linha nem na coluna
anteriores.
5. O processo termina quando já não é possível tomar novos pivôs.
6. Depois, inicia-se o processo de substituição para cima.

3.Exemplo
Resolva o seguinte sistema de equações lineares

2 x + y − 3 z = −1
− x + 3 y + 2 z = 12

(2)

3x + y − 3z = 0
Podemos escrever este sistema linear na forma matricial:
Professor:

¦¨¦¤¢ 
© §© §¥£¡

rpp@impa.br

 2 1 − 3  x  − 1

   
− 1 3 2   y  = 12 

   

   
 3 1 − 3  z   0 

   

(3)

 2 1 − 3 − 1


A = − 1 3 2 12 




 31 −3 0 



( 4)

Passo 1: A Matriz Aumentada.
Define-se primeiro a matriz aumentada:

As três primeiras colunas desta matriz coincidem com as colunas da matriz do sistema e a última coluna é a
dos termos da direita do sistema de equações lineares (2).

Passo 2. Processo de eliminação
Como a11 = 2 ≠ 0, este elemento será o nosso primeiro pivô. Define-se λ1 =

a 21
1
= − , e calculam-se os
a11
2outros elementos transformados da segunda linha segundo a regra 3 acima:
'
a 22 = a 22 − λ1 a12 = 3 − (− 1 ) ⋅ 1 =
2

7
2

'
a 23 = a 23 − λ1 a13 = 2 − (− 1 ) ⋅ (− 3) =
2
'
a 24 = a 24 − λ1 a14 = 12 − (− 1 ) ⋅ (−1) =
2

De outra parte, define-se λ 2 =

1
2

( 5)
23
2

a 31 3
= , e determinam-se ou outros elementos transformados da terceira
a11 2

linha:
'
a 32 = a 32 − λ 2 a12 = 1 − 3 ⋅ 1 = − 12
2
'
a 33 = a 33 − λ 2 a13 = −3 − 3 ⋅ (−3) =
2
'
a 34 = a 34 − λ 2 a14 = 0 − 3 ⋅ (−1) =
2

3
2

( 6)

3
2

Desta forma a nova matriz aumentada transformada após esta primeira fase de eliminação fica como

2 1

A' = 0 7
2


0 − 1
2


− 3 − 1

23 
1
2
2

3
3
2
2


( 7)

'
Para a segunda fase de eliminação Gaussiana consideramos como pivô o elemento a 22 =

definimos λ 3 =

a
a

'...
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