Mecanica aplicada

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ESTÁTICA – DEC 3674

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4 Estática das estruturas espaciais1
4.1 Componentes Retangulares de uma Força Espacial.
Vamos discutir os problemas que envolvem as três dimensões do espaço. Consideremos uma força F atuante na origem O de um sistema de coordenadas retangulares x, y e z, conforme mostra a figura abaixo (figura (a)). A força F pode ser decomposta em uma componente vertical Fy e umacomponente horizontal Fh (figura (b)) dentro do plano OBAC.
y B θy F O A x y B Fy θy F O Fh z C z A x Fz E y B Fy Fx φ Fh C D x

O

φ
z C

As correspondentes componentes escalares são:

Fy = F cosθ y

Fh = F senθ y

(16)

Mas Fh pode ser decomposta em duas componentes retangulares Fx, e Fz segundo os eixos x e z, respectivamente (figura (c)). Obtemos, então, as seguintes expressõespara as componentes escalares correspondentes:
Fx = Fh cosφ = F senθ y cosφ Fz = Fh senφ = F senθ y senφ

(17)

A força F foi decomposta em três componentes vetoriais retangulares Fx, Fy, e Fz, orientadas segundo os três eixos coordenados. Aplicando o teorema de Pitágoras aos triângulos OAB e OCD da Figura acima, escrevemos
F 2 = ( OA ) = ( OB ) + ( BA ) = Fy2 + Fh2
2 2 2

Fh2 = ( OC ) =( OD ) + ( CD ) = Fx2 + Fz2
2 2 2

1

Mecânica vetorial para engenheiros - Ferdinand P. Beer e E. Russell Johnston, Jr.; McGraw-Hill, 1976

ESTÁTICA – DEC 3674

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Ou seja, F 2 = Fy2 + Fh2 = Fy2 + Fx2 + Fz2 e a relação a intensidade de F e suas correspondentes componentes escalares retangulares é:
F = Fx2 + Fy2 + Fz2

intensidade da força.

(18)

Esta relação entre a força E esuas três componentes Fx, Fy e Fz, é visualizada mais facilmente através da figura abaixo.
y y y

Fy B O Fz z E C z F θx A Fx D x B

Fy θy O Fz E C z F A Fx D x B

Fy F O Fz E θz A Fx D x

C

Fx = F cosθ x

Fy = F cosθ y

Fz = F cosθ z

(19)

Os três ângulos θx, θy, e θz, definem a direção da força F. Os co-senos de θx, θy, e θz, são conhecidos como os co-senos diretores daforça F.

Usando os vetores unitários i, j e k, orientados segundo os eixos x, y e z, respectivamente podemos exprimir F na forma:
F = Fx i + Fy j + Fz k

(20)

onde as componentes escalares Fx, Fy e Fz são:
Fx = F cosθ x , Fy = F cosθ y e Fz = F cosθ z .

(21)

ESTÁTICA – DEC 3674

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Exemplo 1. Uma força de 1000 N forma ângulos de 60°, 45° e 120°, respectivamente, com os

eixosx, y e z. Determinar as componentes Fx, Fy e Fz, da força.

Fx = F cosθ x ,

Fy = F cosθ y

e

Fz = F cosθ z

Fx = F cos θx = 1000 x 0,5 = 500 N Fy = F cos θy = 1000 x 0,707 = 707 N Fz = F cos θz = 1000 x (-0,5) = -500 N

F = Fx i + Fy j + Fz k

F (N) = 500 i + 707 j – 500 k

Como no caso de problemas bidimensionais, o sinal positivo indica que a componente tem mesmo sentido do eixocorrespondente e o sinal negativo indica que ela tem sentido oposto.
F = F cosθ x i + F cosθ y j + F cosθ z k = F ( cosθ x i + cosθ y j + cosθ z k ) = F. λ

Sendo

λ = cosθ x i + cosθ y j + cosθ z k = 1 λ y = cosθ y λz = cosθ z

(22) (23)

um vetor unitário com componentes λx = cosθ x

Devemos observar que os valores dos três ângulos θx, θy e θz, não são independentes. A soma dosquadrados das componentes de λ é igual ao quadrado de sua intensidade.

λ = λx2 + λ y2 +λz2 =1

ou

cos 2θ x + cos 2θ y + cos 2θ z = 1

(24)

Quando são dadas as componentes de uma força F, Fx, Fy e Fz, a intensidade da força é obtida por F = Fx2 + Fy2 + Fz2 e os co-senos diretores (eq. 19) também podem ser obtidos conforme a expressão abaixo:
cos θ x cos θ y cos θ z 1 = = = Fx Fy Fz F (25) ESTÁTICA – DEC 3674

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Exemplo 2. Urna força F tem as componentes Fx = 200 N, Fy = -300 N e Fz = 600 N.

Determinar a intensidade F e os ângulos θx, θy e θz, que ela forma com os eixos coordenados. a) equação (18) F = Fx2 + Fy2 + Fz2 =700N cosθ x cosθ y cosθ z 1 = = = −300 200 600 700 e θz = = 31,0°

b) de (25)

cosθ x cosθ y cosθ z 1 = = = F F F F θy = 115,4°

θx = 73,4°...
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