matrizes

Matrizes
Defini¸
c˜ ao Defini¸ c˜ ao. Uma matriz m × n ´e uma tabela de mn n´ umeros dispostos em m linhas e n colunas

 a11 a12 ... a1n
 a21 a22 ... a2n 


A=
.. . .
..  .
..

.
.
. 
.
am1 am2 ... amn
Embora a rigor matrizes possam ter quaisquer tipos de elementos, desde que seus elementos sejam todos do mesmo tipo, neste curso em n´ıvel introdut´orio lidaremos apenas com matrizes cujos elementos s˜ao n´ umeros reais; por esse motivo, tais matrizes s˜ ao chamadas de matrizes reais. A defini¸c˜ao matematicamente precisa para uma matriz real A, m × n, ´e a seguinte: A ´e uma fun¸c˜ao A : [1, m] × [1, n] → R; ao inv´es da nota¸c˜ao usual para fun¸c˜ oes aplicadas em elementos A(i, j), para matrizes usa-se a nota¸c˜ao indexada Aij . Quando se fala de matrizes, esta defini¸c˜ao ´e implicitamente entendida, mas ningu´em se refere a matrizes como fun¸c˜oes de modo expl´ıcito. Ficamos satisfeitos com a compreens˜ao intuitiva e a f´acil visualiza¸c˜ao proporcionada pela defini¸c˜ao pouco rigorosa anterior.
Exemplo 1.

4
3
π
 7 −1
3 

A=

 5
√0 −276
−2
2 10


´e uma matriz 4 × 3.

A i-´ esima linha de A ´e ai1 ai2

... ain

onde i = 1, ..., m, isto ´e, i pode ser qualquer n´ umero entre 1 e m.
A j-´ esima coluna de A ´e

 a1j  a2j 


 ..  .
 .  amj onde j = 1, ..., n, isto ´e, j pode ser qualquer n´ umero entre 1 e n.
Exemplo 2. A 2a linha da matriz A do Exemplo 1 ´e
7 −1

1

3

.

A 3a coluna de A ´e



 π 
3 


 −27  .
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Matrizes em geral s˜ ao denotadas na forma
A = (aij )m×n , ou simplesmente
A = (aij ), quando n˜ao h´ a necessidade de enfatizar a dimens˜ao m × n da matriz.
Existem duas nota¸c˜ oes padr˜ ao para um elemento individual de uma matriz: aij ou

[A]ij

representam o elemento da matriz A que ocupa a posi¸c˜ao ij, ou seja, est´a na linha i e na coluna j.
Duas matrizes A = (aij )m×n e B = (blk )l×k s˜ao