matrizes

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1
MATRIZES

Definição
Conjunto de números reais (ou complexos) dispostos em forma de tabela, isto é, distribuídos em m
linhas e n colunas, sendo m e n números naturais não nulos.















=
mn m m
n
n
a ... a a
... ... ... ...
a ... a a
a ... a aA
2 1
2 22 21
1 12 11


Notação: n m ij
a A × = ) ( com n j m i ,..., 2 , 1 e ,..., 2 , 1 = =
ij
a - elemento genérico da matriz A
i - índice que representa a linha do elemento ij
a
j - índice que representa a coluna do elemento
ij
a
n m × - ordem da matriz. Lê-se “m por n”.

Representações: () = A [] = A = A

Exemplos:1) A representação de um tabuleiro de xadrez pode ser feita por meio de uma matriz 8 8 × .

2) A matriz
3 2 ) ( × = ij
a A onde j i aij
+ = 2
é
234
567





 .

3) A matriz abaixo fornece (em milhas) as distâncias aéreas entre as cidades indicadas:

cidade A cidade B cidade C cidade D













0 1036 2704 957
1036 0 3572 1244
2704 3572 0 638
957 1244 638 0
D cidade
C cidade
B cidade
A cidade

Esta é uma matriz 4 4 × (quatro por quatro).

4) A matriz abaixo representa a produção (em unidades) de uma confecção de roupa feminina
distribuída nas três lojas encarregadas da venda.shorts blusas saias jeans










25 70 120 30
60 0 100 70
40 25 80 50
III loja
II loja
I loja

Esta é uma matriz 4 3× (três por quatro) pois seus elementos estão dispostos em 3 linhas e 4
colunas.

2
Igualdade
Duasmatrizes de mesma ordem
n m ij
a A × = ) ( e
n m ij
b B × = ) ( são iguais quando
ij ij
b a = para todo
m i ,..., 2 , 1 = e para todo n j ,..., 2 , 1 = .

Matrizes Especiais
1. Matriz Linha
Uma matriz A é denominada matriz linha quando possuir uma única linha.
Notação: n ij
a A × = 1 ) (
Exemplo: () 3 1 4 3 8 × −

2. Matriz Coluna
Uma matriz A édenominada matriz coluna quando possuir uma só coluna.
Notação: 1 ) ( × = m ij
a A
Exemplo:
1 3
1
9
3
×












3. Matriz Nula
Uma matriz A é denominada matriz nula quando todos os seus elementos forem nulos, isto é,
0 = ij
a para todo m i ,..., 2 , 1 = e para todo n j ,..., 2 , 1 = .
Notação: n m× 0
Exemplo:
3 2
0 0 0
0 0 0
×
 

 




4. Matriz Quadrada
Uma matriz A é uma matriz quadrada quando possuir o mesmo número de linhas e de colunas, isto
é, n m = .
Notação:














= = ×
nn n n
n
n
n n ij
a a a
a a a
a a a
a A
...
... ... ... ...
...
...
) (
2 1
2 22 21
1 12 11


Diagonal Principal: são os elementos da matriz A onde j i = para todo nj i ,..., 2 , 1 , = .
Diagonal Secundária: são os elementos da matriz A onde 1 + = + n j i para todo n j i ,..., 2 , 1 , = .
Traço: é o somatório dos elementos da diagonal principal da matriz A, denotado por trA.
nn
n
k
kk a a a a trA + + + = = ∑ =
... 22 11
1


Exemplo:









=
×
9 1 10
0 7 5
4 3 2
3 3
A

Elementos da diagonal principal: 2, 7e 9.
Elementos da diagonal secundária: 4, 7 e 10.
18 9 7 2 = + + = trA 3

5. Matriz Diagonal
Uma matriz quadrada A é chamada de matriz diagonal quando todos os elementos que não
pertencem à diagonal principal são nulos, isto é, 0 = ij
a quando j i ≠ para todo n j i ,..., 2 , 1 , = ....
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