Matrizes

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ - UESC ˆ ´ DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXATAS E TECNOLOGICAS - DCET ´ ALGEBRA LINEAR ASSUNTO: MATRIZES EXERC´ ICIOS RESOLVIDOS

1. Suponha que um corretor da Bolsa de Valores fa¸a um pedido para comprar a¸˜es na segunda-feira, c co como segue: 400 quotas de a¸˜o A, 500 quotas da a¸˜o B e 600 quotas da a¸˜o C. As a¸˜es A, B e C ca ca ca co custam por quota R$500,00, R$ 400,00 e R$ 250,00, respectivamente. (a) Encontre o custo total de a¸˜es, usando multiplica¸˜o de matrizes. co ca (b) Qual ser´ o ganho ou a perda quando as a¸˜es forem vendidas seis meses mais tarde se as a¸˜es a co co A, B e C custarem R$ 600,00, R$ 350,00 e R$ 300,00 por quota, respectivamente? RESPOSTAS

(a) O custo total das a¸˜es ´ R$550.000,00. co e (b) o lucro total foi deR$45.000,00. 2. Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, terrˆneo e colonial. A quana tidade de material empregada em cada tipo de casa ´ dada pala matriz: e

F erro M oderno M editerrˆneo a Colonial 5 7 6

M adeira 20 18 25

V idro 16 12 8

T inta 7 9 5

T ijolo 17 21 13

(Qualquer coincidˆncia dos n´meros com a realidade ´ mera coincidˆncia.) e u e e

(a) Seele vai construir 5, 7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterrˆneo e colonial, respectivamente, a quantas unidades de cada material s˜o empregadas? a (b) Suponha agora que os pre¸os por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam, respectic vamente, 15, 8, 5, 1 e 10 u.c.p.. Qual ´ o pre¸o unit´rio de cada tipo de casa? e c a

1

(c) Qual ´ o custo total do material empregado? e
¥¡ § ¦ ¦ ¦ ¢

RESPOSTAS Considere A =
 

5 7 6

20 18 25

16 12 8

7 17 9 21 5 13
 

(a) As entradas, c11 , c12 , c13 , c14 , c15 , da matriz C = A · B =

quantidades dos materiais ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo empregados na constru¸˜o, respecca tivamente.
 

de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo, respectivamente; e 5 20 16 7 17
 

7 18 12 9 21 492

6 25 8 5 13E=B =

t

; Temos:

casas dos tipos moderno, mediterrˆneo e colonial, respectivamente. a

(c) O custo total ser´ dado pelo produto matricial: a 5 7 12 F · At = ·
§ ¦ ¦ ¦ ¥ ¢ ¤ £ £ £  

ou seja, o custo total da constru¸˜o ser´ R$11736, 00. ca a 3. Uma rede de comunica¸˜o tem cinco locais com transmiss˜o de potˆncias distintas. Estabelecemos que ca a e aij = 1, na matriz abaixo, significaque a esta¸˜o i pode transmitir diretamente ` esta¸˜o j, aij = 0 ca a ca significa que a transmiss˜o da esta¸ao i n˜o alcan¸a a esta¸˜o j. Observe que a diagonal principal ´ a c˜ a c ca e nula significando que uma esta¸˜o n˜o transmite diretamente para si mesma. ca a 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0
¥ ¢

A =

Qual seria o significado da matriz A2 = A · A?
5

Seja A2 = [Cij].Calculemos o elemento c42 =

a4k ak2 = 0 + 0 + 1 + 0 + 0 = 1.

k=1

2

§ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦

¨

¤ £ £ £ £ £ £ £ £ £

¡

492

528

465

¡

F = H·E =

528

c a 465 , as entradas f11 , f12 e f13 representam o pre¸o unit´rio das

¡

(b) Considere H =
¢

15

8 5
¥

¡

5 7

12

e B

=

1 10

a matriz cujas entradas representam o pre¸o por unidade c= 11736,

¤ £ £ £

146

526

260

158

388

s˜o as a

§ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦

¤ £ £ £ £ £ £ £ £ £

Note que a unica parcela n˜o nula veio de a43 · a32 = 1 · 1. Isto significa que a esta¸˜o 4 transmite para ´ a ca a esta¸˜o 2 atrav´s de uma retransmiss˜o pela esta¸˜o 3, embora n˜o exista uma transmiss˜o direta ca e a ca a a de 4 para 2. (a) Calcule A2 .( Ver Apˆndice.) e

(b)Qual o significado de c13 = 2?.
©

c13 =

5 k=1

a1k ak3 = 0 + 1 + 0 + 1 + 0, onde a12 a23 = 1 = a14 a43 . Ou seja, para a esta¸˜o 1 ca

transmitir para a esta¸˜o 3, pode transmitir para a esta¸˜o 2 e a esta¸˜o 2 retransmitir para a ca ca ca esta¸˜o 3, ou transmitir para a esta¸˜o 4 e a esta¸˜o 4 retransmitir para a esta¸˜o 3. ca ca ca ca

(c) Discuta o significado dos termos nulos,...
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