Matrizes

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Cap´tulo
ı

1

Matrizes
1.1
1.1def

Apontamentos sobre Matrizes
(a) produto cartesiano de dois conjuntos Sejam A e B conjuntos.
Chama-se produto cartesiano de A e B , que se representa por
A × B , ao conjunto
{(a, b)|a ∈ A, b ∈ B }.
(b) produto cartesiano de um número finito de conjuntos Sejam n ∈
N e os conjuntos A1 , A2 , . . . , An . Chama-se produto cartesiano de
A e B , que serepresenta por A1 × A2 × · · · × An , ao conjunto
{(a1 , a2 , . . . , an )|a1 ∈ A1 , a2 ∈ A2 , . . . , an ∈ An , }.
(c) potência cartesiana de um conjunto Sejam n ∈ N e X um conjunto. Chama-se potência cartesiana de ordem n do conjunto X ,
que se representa por X n , ao conjunto
{(x1 , x2 , . . . , xn )|x1 , x2 , . . . , xn ∈ X },
1

2

1 Matrizes

identificando-se X 1 com X .
1.2exeExplicite R2 e C3 .
res R2 = {(x, y )|x, y ∈ R}.
C3 = {(z1 , z2 , z3 )|z1 , z2 , z3 ∈ C}.
1.3def

(a) matriz, tipo de uma matriz, matriz real, matriz complexa Sejam
m, n ∈ N. Chama-se matriz do tipo m × n (lê-se “ m por n”) a
uma função com domínio {(i, j ) ∈ N2 |i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n}
e com conjunto de chegada R ou C, dizendo-se que é uma matriz
real ou complexa,respectivamente.
(b) Mm×n (R) Representa-se por Mm×n (R) o conjunto das matrizes reais do tipo m × n.
(c) Mm×n (C) Representa-se por Mm×n (C) o conjunto das matrizes
complexas do tipo m × n.

1.4obs

(a) É possível considerar matrizes cujos elementos não são nem números
reais, nem números complexos (e.g., polinómios), mas neste curso
apenas aqueles casos são os com interesse.
(b) Quando não érelevante destinguir o conjunto dos números reais
(R) do conjunto dos números complexos (C), usa-se o símbolo K,
tendo-se a seguinte definição:

1.5def

Mm×n (K) Representa-se por Mm×n (K) o conjunto das matrizes do
tipo m × n, independentemente de serem reais ou complexas.

1.6def

escalar Chama-se escalar a um elemento de K.

1.1 Apontamentos sobre Matrizes

3

1.7def Sejam A ∈ Mm×n(K), i ∈ {1, . . . , m} e j ∈ {1, . . . , n}.
(a) elemento de uma matriz Chama-se elemento da linha i e da
coluna j da matriz A, que se representa por ai,j ou (A)i,j , a A(i, j ).
(Se não houver ambiguidade relativamente ao índice da linha e ao
índice da coluna representa-se por aij ou (A)ij .)
(b) linha de uma matriz Chama-se linha i da matriz A, que se representa por

i,A ,

a (ai1 ,ai2 , . . . , ain ). (Se não houver ambiguidade

relativamente à matriz representa-se por

i .)

(c) coluna de uma matriz Chama-se coluna j da matriz A, que se
representa por cj,A , a (a1j , a2j , . . . , amj ). (Se não houver ambiguidade relativamente à matriz representa-se por cj .)
1.8obs

(a) Regra geral usam-se letras maiúsculas para representar matrizes.
(b) Representa-se por A =[aij ] ∈ Mm×n (K) a matriz


a11 a12 · · · a1n




 a21 a22 · · · a2n 


A= .
.
. ,
..
.
.
.
.
.
.
.
am1 am2 · · ·

amn

em que a11 , a12 , . . . , a1n , a21 , a22 , . . . , a2n , am1 , am2 , . . . , amn ∈ K.
(c) A letra “ i” aparece neste curso quer como a unidade imaginária
dos números complexos, quer como a letra usual para representar a linha de umamatriz. No entanto, o contexto será sempre
suficiente para identificar o significado correcto.
(d) Quando se está perante matrizes do conjunto M1×1 (K), o contexto será suficiente para distinguir se se está a fazer referência à
matriz ou ao único elemento que a constitui.

4

1 Matrizes

1.9exe Dê um exemplo de uma matriz pertencente a M2×3 (R).
res A =

1 1/ 2 − 4

20 π

.

1.10exeExplicite a matriz A = [aij ] ∈ M2×3 (R), aij = j − i.
res A =

0 12
−1 0 1

.

1.11exe Considere a matriz A = [ 1 2 3 4 ].
5678
(a) Indique o elemento que está na segunda linha e na terceira coluna
da matriz A.
(b) Indique a segunda linha da matriz A.
(c) Indique a terceira coluna da matriz A.
res

(a) a23 = 7.
(b)

2

= (5, 6, 7, 8).

(c) c3 = (3, 7).
1.12def Seja A ∈...
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