matriz jacobiana

Matriz jacobiana

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Matriz jacobiana
A Matriz Jacobiana (denominado do matemático alemão Carl Gustav Jakob Jacobi) é a matriz formada pelas derivadas parciais de primeira ordem de uma função vetorial. Se uma função é diferenciável num ponto, a sua derivada é dada em coordenadas pela Jacobiana, mas uma função não precisa de ser diferenciável para a existência da Jacobiana; basta que as derivadas parciais existam.

Definição
Seja

. Tal função é definida por um vetor de m componentes, sendo cada componente uma função
. As derivadas parciais dessas funções podem ser organizadas numa matriz m x n, que é

denominada Matriz Jacobiana. Assim, a Jacobiana é definida como:

A Jacobiana é representada por

ou

A k-ésima linha da matriz é dada pela transposta do gradiente de

Determinante Jacobiano
O Jacobiano é definido como sendo o determinante da Jacobiana. Ele é de grande importância na mudança de variáveis em integrais múltiplas e no Teorema da Função Inversa.

Exemplos
Seja

O Jacobiano é

. A jacobiana de F é:

.

Vamos montar a Jacobiana da mudança de variáveis cartesianas para polares. A função que faz a transformação é:

A Jacobiana é dada então por:

O Jacobiano é

. portanto poderá se feito de acordo com alguns métodos matemáticos

Matriz jacobiana

Aproximação Linear
A Jacobiana representa a melhor aproximação linear de uma função diferenciável nas vizinhanças de um ponto.
Semelhante à aproximação de funções de uma variável pela derivada, uma função vetorial F diferenciável num ponto pode ser aproximada por:

sendo um ponto próximo de
. Essa aproximação é de grande importância no cálculo numérico, onde a
Jacobiana e o seu determinante são utilizados para resolver sistemas não-lineares pelo método de Newton (ou método do Gradiente Iterativo).

Ver Também
• Matriz Hessiana

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Fontes e Editores da Página

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