Material de calculo

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11) Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 e z = 0. Solução: Em uma questão como esta, é prudente desenhar dois diagramas: um do sólido tridimensional e outro da região plana D sobre a qual o sólido está. Igualando as equações dos planos, duas a duas, obtemos as retas que contém as arestas do tetraedro:

z (0, 0, 2) T

y x + 2y = 2 1 x + 2y + z = 2D ½

x = 2y

(0, 1, 0)

y x = 2y

1

x

x

(1, ½, 0)

A figura acima, à esquerda, mostra o tetraedro T limitado pelos planos coordenados x = 0, z = 0, o plano vertical x = 2y e o plano x + 2y + z = 2. Como x + 2y + z = 2 intercepta o plano xy (de equação z = 0) na reta x + 2y = 2, vemos que T está sobre a região triangular D, do plano xy, limitada pelas retas x = 2y, x + 2y = 2 ex = 0. O plano x + 2y + z = 2 pode ser escrito como z = 2 – x – 2y e a região D como: D = { (x,y) | 0 < x < 1, x/2 < y < 1 – x/2 }. Portanto o volume de T é:

V = ∫∫ (2 − x − 2 y )dA = ∫
D 1

x 1 1− 2 0 x/2

2 ∫ (2 − x − 2 y)dydx = ∫ [2y − xy − y ]x 1 0

1− x 2

2

dx

  x   x   x 2 x2 x2  = ∫ 21 −  − x1 −  − 1 −  − x + + dx 2  2  2 2 4  0    1  x2 x2 x2x2  dx = ∫2 − x − x + −1 + x − −x+ +  2 4 2 4   0  x3  1 2 = ∫ 1 − 2 x + x dx =  x − x +  = 3 0 3  0
1

(

2

)

1

14

PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS DUPLAS:

1) ∫∫ [f ( x , y) + g( x , y)]dA = ∫∫ f ( x , y)dA + ∫∫ g( x, y)dA
D D D

2) ∫∫ cf ( x, y)dA = c ∫∫ f ( x , y)dA , onde c é uma constante
D D

3) ∫∫ f ( x , y)dA = ∫∫ f ( x , y )dA + ∫∫ f ( x , y )dA , se D =D1 ∪ D2, onde D1 e D2 não se sobrepõem exceto, possivelmente, nas D D1 D2 fronteiras. 12) Expresse, de duas maneiras, as integrais iteradas que resolvem

∫∫ 2y cos xdA , onde D é a região do
D

π plano xy limitada pelos gráficos de x = , y = 1, y = 3, 3y + x = 10 e x = y2. 6

Solução: No gráfico abaixo, aparecem as curvas que formam a fronteira de D. y =3 x =π/6

3
3y + x = 10

D
x =y2

y =1

π/6 A região que tem como fronteira todas as curvas citadas é a parte sombreada do plano. Portanto essa é a região D. Assim, podemos descrevê-la de duas formas: 1) Inscrita na faixa vertical π/6 ≤ x ≤ 4 e, nesse caso dividi-la em
D1 = { (x,y) | π/6 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ 3 } e 10 − x D2 = { (x,y) | 1 ≤ x ≤ 4, x ≤ y ≤ } 3 2) Inscrita na faixa horizontal 1 ≤ y ≤ 3 e, nesse caso, dividi-la emD1 = { (x,y) | 1 ≤ y ≤ 2, π/6 ≤ x ≤ y2 } e D2 = { (x,y) | 2 ≤ y ≤ 3, π/6 ≤ x ≤ 10 – 3y }

15

Na forma 1), as integrais iteradas são: ∫∫ 2y cos xdA = ∫∫ 2y cos xdA + ∫∫ 2y cos xdA
D D1 1 3 D2 4 10 − x 3

=

π 1 6

∫ ∫ 2y cos xdydx + ∫ ∫ 2y cos xdydx
1 x

Na forma 2), as integrais iteradas são: ∫∫ 2 y cos xdA = ∫∫ 2 y cos xdA + ∫∫ 2 y cos xdA
D D1 2 y
2

D2 3 10 −3 y

= ∫ ∫ 2y cos xdxdy + ∫
1π 6 2

∫ 2 y cos xdxdy π
6

13) Determine o volume do sólido S que é delimitado pelo parabolóide x 2 + 2 y 2 + z = 16 e os planos x = 2 e y = 2 , e os três planos coordenados.
Z

16

2

Y

Solução: V = ∫∫ 16 − x 2 − 2 y 2 dA
D

(

X

)

V = ∫∫ (16 − x − 2 y )dA = ∫
2 2

2 0

∫ (16 − x
2 0

2

− 2 y )dxdy = ∫
2

2 0

D

  x3 16 x − − 2 y2 x  dy   3  0

2

V =∫

2 0

2  2     x3 23 8  16x −  − 2 y 2 x  dy = ∫ 16 (2) − − 2 y 2 (2) − 0 + −0 + 0  dy = ∫  32 − − 4 y 2 dy   0  0 3 3 3    0   2 2 2

2

 88   96 − 8  88 (2)3 − 0 + 0  8 y3  y3  y3   V =  32 y − y − 4  =  y − 4  =  y − 4  =  (2) − 4    3 3 0  3 3 0  3 3 0  3 3       
 176 32  144 V = − = = 48 u.v.3 3  3
16

14) Calcular a integral dupla

∫∫ (4 + x − y )dA , sabendo que o domínio é
D

D = ( x, y ) ∈ ℜ / 0 ≤ x ≤ 2, x ≤ y ≤ x + 1 .
2

{

}

Solução: Donde a integral de volume Z = ∫∫ (4 + x − y )dA será:
D
2   (4 + x − y )dydx = ∫0  4 y + xy − y  dx  2 x   2 x +1

Z = ∫∫ (4 + x − y )dA = ∫
D

2

0



x +1

x

2  ( x + 1)2  Z = ∫  4( x + 1) +...
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