Matemática I

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MATEMATICA I
Licenciatura em Economia, Finan¸as e Gest˜o c a
2012-13 Teste de auto-avalia¸˜o (4) ca 1. Calcule as derivadas das fun¸oes seguintes e indique o respectivo valor nos pontos indicados. c˜ x2 +4x+2 sin(4x)
(a) f (x) = e
; no x = 0
4
sin (5x)
(b) f (x) =
; no ponto x = π/2 cos(4x) (c) f (x) = arctan(1 + 4x); no ponto x = 0
2. Responda as seguintes quest˜es
`
o
(a) Ser´ poss´ afirmar, usando o teorema de Rolle, que a fun¸ao f (x) = 4 − |5 − x| possui um a ıvel c˜ ponto cr´ ıtico no intervalo [1, 9]? Justifique.
(b) Mostre, usando o teorema de Lagrange, que arctan ex < x + π , se x > 0.
4
3. Responda `s quest˜es seguintes: a o
(a) Escreva a f´rmula de Mac-Laurin da fun¸ao f (x) = (1 + x)α at´ a ordem 4. o c˜ e` x3
(b) Comente o facto de a fun¸˜o f (x) = e ser anal´ ca ıtica e escreva a respectiva s´rie de potˆncias. e e
4. Considere a fun¸˜o definida por ca f (x) =


 arctan(x2 − 6x + 8), se x ≤ 2


2+

1
,
3−x

se x > 2

e determine os elementos seguintes:
(a) dom´ ınio; (b) limites em +∞, −∞, 2 e 3,
(c) dom´ ınio de diferenciabilidade;
(d) intervalos de monotonia e m´ximos e m´ a ınimos relativos, se existirem.
5. Estude a fun¸ao seguinte, determinando todos os elementos uteis ao seu estudo (dom´ c˜ ´ ınio, limites, ass´ ıntotas, intervalos de monotonia, extremos relativos, concavidades) e esboce o gr´fico respectivo. a f (x) =

1 1 ex x