Matemática aplicada

Passo 3
No cálculo, a derivada representa a taxa de variação instantânea de uma função. Um exemplo típico é a função velocidade que representa a taxa de variação (derivada) da função espaço. Do mesmo modo a função aceleração é a derivada da função velocidade. A derivada tem dois aspectos básicos, o geométrico e o computacional. Além disso, as aplicações das derivadas são muitas: a derivada tem muitos papéis importantes na matemática propriamente dita, tem aplicações em física, química, engenharia, tecnologia, ciências, economia e muito mais, e novas aplicações aparecem todos os dias.
Derivabilidade num ponto * Seja um intervalo de R com mais do que um ponto, seja ∈ e seja uma função de em R derivável em . Então é contínua em . O recíproco não é verdadeiro, como se pode ver pela função módulo. * Seja um intervalo de R com mais do que um ponto, seja ∈ e sejam e funções de em R deriváveis em . Então as funções ± , e (caso ≠ ) também são deriváveis em e: * * *
Em particular, se ∈ R, então . Resulta daqui e de se ter que a derivação é uma aplicação linear. * Sejam e intervalos de R com mais do que um ponto, seja ∈ , seja uma função de em derivável em e seja uma função de em R derivável em . Então o é derivável em e
.
Esta propriedade é conhecida por regra da cadeia. * Seja um intervalo de R com mais do que um ponto, seja ∈ e seja uma função contínua de em R derivável em com derivada não nula. Então a função inversa é derivável em e

Outra maneira de formular este resultado é: se está na imagem de e se for derivável em com derivada não nula, então

Assim, por exemplo, se considerarmos a função f de R em R definida por f(x) = x² + x − 1, esta é diferenciável em 0. Podem ver-se na imagem abaixo os gráficos das restrições daquela função aos intervalos [−1,1] e [−1/10,1/10] e é claro que, enquanto que o primeiro é bastante curvo (e, portanto, f(x) − f(0) está aí longe de ser linear), o segundo é praticamente