Matematica

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Proporções - Introdução
Rogerião e Claudinho passeiam com seus cachorros. Rogerião pesa 120kg, e seu cão, 40kg. Claudinho, por sua vez, pesa 48kg, e seu cão, 16kg. Observe a razão entre o peso dos dois rapazes:

Observe, agora, a razão entre o peso dos cachorros:

Verificamos que as duas razões são iguais. Nesse caso, podemos afirmar que a igualdade uma proporção. Assim:

é

Elementos deuma proporção
Dados quatro números racionais a, b, c, d, não-nulos, nessa ordem, dizemos que eles formam uma proporção quando a razão do 1º para o 2º for igual à razão do 3º para o 4º. Assim:

ou a:b=c:d (lê-se "a está para b assim como c está para d") Os números a, b, c e d são os termos da proporção, sendo:

 

b e c os meios da proporção. a e d os extremos da proporção.

Exemplo:Dada a proporção , temos: Leitura: 3 está para 4 assim como 27 está para 36. Meios: 4 e 27 Extremos: 3 e 36

Propriedade fundamental das proporções
Observe as seguintes proporções: Produto dos meios = 4.30 = 120 Produto dos extremos = 3.40 = 120

Produto dos meios = 9.20 = 180 Produto dos extremos = 4.45 = 180

Produto dos meios = 8.45 = 360 Produto dos extremos = 5.72 = 360 De modo geral,temos que:

Daí podemos enunciar a propriedade fundamental das proporções:

Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

Aplicações da propriedade fundamental
Determinação do termo desconhecido de uma proporção Exemplos:



Determine o valor de x na proporção:

Solução: 5 . x = 8 . 15 5 . x = 120

(aplicando a propriedade fundamental)

x = 24 Logo, ovalor de x é 24.



Determine o valor de x na proporção:

Solução: 5 . (x-3) = 4 . (2x+1) 5x - 15 = 8x + 4 5x - 8x = 4 + 15 -3x = 19 3x = -19

(aplicando a propriedade fundamental)

x=

Logo, o valor de x é

.



Os números 5, 8, 35 e x formam, nessa ordem, uma proporção. Determine o valor de x. Solução:

(aplicando a propriedade fundamental) 5 . x = 8 . 35 5x = 280

x =56 Logo, o valor de x é 56. Resolução de problemas envolvendo proporções Exemplo:



Numa salina, de cada metro cúbico (m3) de água salgada, são retirados 40 dm3 de sal. Para obtermos 2 m3 de sal, quantos metros cúbicos de água salgada são necessários? Solução: A quantidade de sal retirada é proporcional ao volume de água salgada. Indicamos por x a quantidade de água salgada a ser determinadae armamos a proporção:

Lembre-se que 40dm3 = 0,04m3.

(aplicando a propriedade fundamental) 1 . 2 = 0,04 . x 0,04x = 2

x = 50 m3 Logo, são necessários 50 m3 de água salgada.

Quarta proporcional
Dados três números racionais a, b e c, não-nulos, denomina-se quarta proporcional desses números um número x tal que:

Exemplo:



Determine a quarta proporcional dos números 8, 12 e 6.Solução: Indicamos por x a quarta proporcional e armamos a proporção:

(aplicando a propriedade fundamental) 8 . x = 12 . 6 8 . x = 72

x = 9 Logo, a quarta proporcional é 9.

Proporção contínua

Considere a seguinte proporção: Observe que os seus meios são iguais, sendo, por isso, denominada proporção contínua. Assim: Proporção contínua é toda a proporção que apresenta os meios iguais. Deum modo geral, uma proporção contínua pode ser representada por:

Terceira proporcional Dados dois números naturais a e b, não-nulos, denomina-se terceira proporcional desses números o número x tal que:

Exemplo: Determine a terceira proporcional dos números 20 e 10. Solução Indicamos por x a terceira proporcional e armamos a proporção:

(aplicando a propriedade fundamental) 20 . x = 10 .10 20x = 100

x=5 Logo, a terceira proporcional é 5. Média geométrica ou média proporcional

Dada uma proporção contínua proporcional entre a e c. Exemplo:

, o número b é denominado média geométrica ou média



Determine a média geométrica positiva entre 5 e 20. Solução:

5 . 20 = b . b 100 = b2 b2 = 100 b= b = 10 Logo, a média geométrica positiva é 10.

Propriedades das...
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