Matematica

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UNIDADE 1 - DERIVADAS



UNIDADE 1 – TAXA MÉDIA DE VARIAÇÃO (T.M.V.)

1 – Definição
Seja f uma função definida num conjunto D. Sejam xo e xo + Δx dois pontos desse conjunto D. Quando a variável x passa do valor de xo para o valor xo + Δx sofrendo, portanto uma variação Δx, o correspondente valor da função passa de f(xo) para o valor f(xo + Δx) sofrendo, assim uma variaçãoΔy = f(xo + Δx) – f(xo).


Observe a figura abaixo:
y

f(xo+ Δx)

Δy
f(xo)
Δx

xo xo + Δx x






O quociente [pic],recebe o nome de Taxa Média de Variação (T.M.V.)A Taxa Média de Variação (T.M.V.), mede a variação média sofrida pela função quando passamos do ponto xo para xo + Δx.
Ex.: a) Calcular a Taxa Média de Variação (T.M.V.) da função f(x) = x2 entre os pontos 1 e 4.
xo = 1
xo + Δx = 4
1 + Δx = 4
Δx = 3
f(xo) = (1)2 = 1
f(xo + Δx) = (4)2 = 16
T.M.V. = [pic] =[pic] = 5


2 – Derivada de uma função num ponto
Seja a função f(x) definida no intervalo [ a , b ] e seja um ponto de abscissa xo desse intervalo.
Denomina-se derivada da função f(x) no ponto de abscissa xo, o limite, se existir e for finito, da razão [pic]quando Δx tende a zero.


[pic]


Ex.: a) Calcular a derivada da função f(x) 3x2 no ponto xo = 2.
xo = 2f(xo + Δx) = f(2 + Δx)
f(xo) = f(2) = 3(2)2 = 12
lim = f(xo + Δx) – f(xo)
Δx→ 0 Δx
lim = f(2 + Δx ) – f(2)
Δx→ 0 Δx
lim = 3(2 + Δx)2 – 12
Δx→ 0 Δx
lim = 3(4 + 4Δx + Δ2x2) – 12
Δx→ 0 Δx
lim = 12 + 12Δx + 3Δ2x2 – 12
Δx→ 0 Δx
lim = 3Δx(4 + Δx)Δx→ 0 Δx
lim = 12 + 3Δx = 12
Δx→ 0
Logo, f ’ (2) = 12






3 – Derivada das funções usuais

3.1 – Derivada da função constante


f(x) = k → f ′ (x) = 0


Ex.: a) f(x) = 4
f ′(x) = 0

3.2 – Derivada da função linear


f(x) = ax → f ′(x) = a


Ex.: a) f(x) = 3x
f ′(x) = 3

3.3 –Derivada da função afim


f(x) = ax + b → f `(x) = a


Ex.: a) f(x) = 5x – 3
f ′(x) = 5

3.4 – Derivada da função quadrática


f(x) = ax2 + bx + c → f `(x) = 2ax + b


Ex.: a) f(x) = 4x2 + 3x – 4
f ′(x) = 2.4x + 3
f”(x) = 8x + 3

3.5 – Derivada da função dada por: f(x) = xn

f(x) = x n → f ′(x) = n.x n – 1

Ex.: a) f(x) = x6
f ′(x) = 6.x 6 – 1
f ′(x) = 6x5

3.6 – Derivada da função dada por: f(x) = ax n

f(x) = ax n → f `(x) = anx n – 1


Ex.: a) f(x) = 4x3
f ′(x) = 4.3x 3 – 1
f ′(x) = 12x2

3.7 – Derivada da função exponencial

f(x) = e x → f `(x) = e x

Ex.: a) f(x) = e x
f ′(x) =e x

3.8 – Derivada da função logaritmo natural

f(x) = lnx → f ′(x) = 1/x

Ex.: a) f(x) = ln4
f ′(x) =1/4



3.9 – Derivada da função dada por: f(x) = ln(u(x))


f(x) = ln(u(x)) → f ′(x) = u′(x)
u(x)

Ex.: a) f(x) = ln2x
f ′(x) = [pic]


4 – Regras de derivação

4.1 – Derivada da soma

Se u e v são funçõesderiváveis num ponto x, então, u + v é derivável em x e ( u ± v)׳ = u׳ (x) ± v׳(x).


f(x) = u ± v → f ′(x) = u ′± v `


Ex.: a) f(x) = 4x3 – 2x2 + 5x – 1
f ′(x) = 12x2 – 4x + 5


4.2 – Derivada do produto
Se u e v são funções deriváveis num ponto x, então, a função produto uv é derivável no ponto x e (uv)′ (x) = u(x).v′ (x) + u′ (x).v(x)


f(x)...
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