Matematica

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GOVERNO DO ESTADO DE RORAIMA
UNIVERSIDADE VIRTUAL DE RORAIMA - UNIVIRR







A P O S T I L A
CURSO DE MATEMÁTICA
Fatoração e Produtos Notáveis


Produtos Notáveis:


Quadrado da Soma ou Diferença:


(a + b)2 = a2+ 2ab + b2


(a - b)2 = a2 - 2ab + b2


(a + b + c)2 = a2+ b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc


(a + b - c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab - 2ac - 2bc


(a - b + c)2 = a2 +b2 + c2 - 2ab + 2ac - 2bc


(a - b - c)2 = a2 + b2 + c2 - 2ab - 2ac + 2bc


Ex:


(2x + 3y2)2 = (2x)2 + 2(2x)(3y2) + (3y2)2 =


= 4x2 + 12xy2 + 9y4


Produto da Soma pela Diferença:


(a + b). (a - b) = a2 - b2


Ex:


x2 - 16 = (x + 4). (x - 4)


a4 - b4 = (a2)2 - (b2)2 = (a2 - b2). (a2 + b2) = (a + b). (a - b). (a2 + b2) 


Cubo da soma e da diferença:


(a +b)3 = a3+ 3a2b + 3ab2 + b3


(a - b) 3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3


Ex:


(x + 2)3 = x3 + 3(x2) (2) + 3(x) (2)2 + 23 = x3 + 6x2 + 12x + 8








Fatoração


Fatorar: Significa encontrar fatores que conduzam a um produto dado.


Principais casos de fatoração:


Fator comum (evidência)


ax + bx = x(a + b)


Agrupamento:


ax + bx + ay + by = x (a+b) + y (a + b) = (a+ b) (x + y)


Diferença de Quadrados:


a2 - b2 = (a + b) (a - b)


Quadrados Perfeitos:


a2 + 2ab + b2 = (a + b)2


a2 - 2ab + b2 = (a - b)2


Soma de Cubos:


(a3 + b3) = (a + b) (a2 - ab + b2)


Diferença de cubos:


a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2)


Ex:


8y3 - 125 = (2y)3 - 53 = (2y - 5). (4y2 + 10y + 25)


Cubos Perfeitos:


a 3 + 3a2b + 3ab2 + b3 =(a + b)3


a 3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a - b)3


Ex:


x3 + 3x2 + 3x + 1 = (x + 1)3




Equações


Equações de 1º e 2º graus:


O problema


Quando escrevemos uma equação, como por exemplo: "x2 - 2x = x - 4" propomos o seguinte problema:


"Quais são os valores de x para os quais a igualdade é verdadeira?"


Resolver uma equação é dar resposta ao problema, isto é, éencontrar todos os valores de x que verificam (satisfazem) a igualdade. Tais valores (números) são as raízes ou as soluções da equação.


Na escritura de uma equação, como a do exemplo acima, a letra x (ou y, z, t, a,...) chama-se incógnita.


Conjunto-solução de uma equação é o conjunto cujos elementos são todas as raízes (ou soluções) da equação.


Duas equações dizem-se equivalentes sepossuem o mesmo conjunto-solução.


As transformações


De um modo bem geral, para resolvermos uma equação transformamos suas escrituras. Por exemplo, para resolvermos uma equação como.


2x + 4 = 8 + x,


Transformamos sua escritura até isolarmos a incógnita em um dos dois membros.


As transformações mais importantes estão descritas a seguir.

|Transformação TE1|
|Dada uma equação aos seus dois membros podemos somar (ou subtrair) um mesmo número. A equação assim obtida é equivalente à |
|equação dada |
|Transformação TE2|
|Dada uma equação, seus dois membros podem ser multiplicados (ou divididos) por um mesmo número diferente de zero. A equação |
|assim obtida é equivalente à equação dada. |



Equações do 1º grau

|Equação do 1º grau|
|Uma equação do 1º grau na incógnita x é qualquer equação que pode ser escrita na forma |
|ax + b = 0 |
|(a e b são números reais...
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