Matematica

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Etapa1

.Aula tema: A derivada.

Está atividade é importante para que você compreenda o conceito derivada.

Para Realizá-la,devem ser seguidos os passos descritos.

Passos

Passo 1

Faça a Leitura do Capitulo 2-secões 2.3 e 2.4do PLT e demonstre o que representa a taxa de variação média de ƒ e a taxa de variação instantânea de ƒ,dê exemplos.

R:Sabemos que existe variação entre asGrandezas: No capitulo anterior do PLT notamos que altura dividida pelo variação no tempo,agora vamos aplicar uma fórmula que para qualquer função ƒ que não tenha relação com o tempo:

Variação média ƒ=[pic]

O Numerador tem que medir a variação de ƒ no intervalo de (x) até (x-h).

EXEMPLOS:

[pic]

A taxa derivada instantânea,é a taxa de variação dada em intervalos detempo muito pequenos:A questão é,como definir a taxa instantânea.

EXEMPLOS:

[pic]= [pic]

Passo 2

Demonstre a Regra da derivada da função constante e a regra da função potência,algebricamente.

R:Para trabalhar com a função exponencial,temos que pegar o numero do expoente e multiplicar pelo numero da frente.

EXEMPLO

[pic]= 2x2+h-2x2 /h= 4x1+h-1x2/h

Passo3

Leia o capitulo2-seção 2.5 do PLT por meio de exemplos,faça a interpretação pratica da derivada.

R: Se ƒ é uma função de P=(x,y) em um ponto de y=f(x),então se Q=(x1,y1)é um ponto y=ƒ(x) a reta secante PQ tem a inclinação.

[pic]

E fazendo Q se aproximar de P,a reta PQ se aproxima da posição da reta tangente y=f(x) no ponto P,isto é. [pic]

é a inclinação da reta tangente, caso o limite exista, enesse caso definimos a reta tangente ao gráfico de [pic]no ponto [pic]como o reta que tem equação

[pic]

Passo4

Leia o Capitulo2,seção 2.6 do PLT e elabore um texto,com explicações,sobre a derivada segunda.Não esqueça de citar sobre concavidade,e criar um exemplo ilustrativo.

R:A função ƒ´ derivada segunda é,a derivada da derivada.Se a ƒ(x) é deriavda da segunda também pode serinterpretada por d2y /dx2

Se a função ƒ>0 em algum intervalo de tempo,então seu gráfico será representado,destá forma:Sua inclinação aumenta de esquerda para direita,então função ƒ será positiva.

[pic]

Se a função ƒ0. Pelo critério da segunda derivada, x=0 é ponto de máximo local para f e ponto de mínimo local para g.

[pic][pic]

f(x)=1-x²g(x)=x²

Às vezes, várias derivadas sucessivas da função se anulam no ponto crítico, assim o critério acima, necessita ser ampliado.

ETAPA2

Aula-Tema:Técnicas de Diferenciação.

Está atividade é importante para que você compreenda as regras da derivação e as suas aplicações.

Para realizá-la, devem ser seguidos os passos descritos.

Passos

Passo1

Faça a leitura docapitulo 3 – seção 3.1 do PLT e enuncie a derivada da soma ,a derivada diferença,a diferença de polinômios,com dois exemplos de cada.

R:
Derivada da soma

Em palavras: a derivada de uma soma é igual a soma das derivadas das parcelas.

Se as funções f e g têm derivada num ponto “x0” então f+g é derivável em “x0” e [pic]
   

  Com efeito, tem-se (f+g)`(x0)= [pic]=[pic]=[pic]=

[pic]= [pic]
     E, então, se f e g têm derivada finita em (a,b) [pic]  é diferenciável em  e (f+g)`(x)=f`(x)+g`(x) xэ (a,b) .

y= f+g y`=f`+g`

     Consideremos três funções, f, g e h, com derivada finita num ponto x є (a,b).
    

Tem-se [pic]  [pic]
     De um modo geral,(f1+f2+fn)` (x)=+fn(x) para todo o x onde as funções tenham derivada finita.
     Dadoum número de funções diferenciáveis em (a,b) a derivada da soma das funções é igual à soma das derivadas de cada uma das funções, em (a,b).

Exemplos:

Vamos à prática. Aplique as regras estudadas e derive as seguinte funções:

F(x)=7x4-2x3=8x+5

Esta função pode ser escrita como

y= 7x4-2x3=8x+5

Derivando-a em relação a x e aplicando a regra, temos que:

d(y) =( 7x4-2x3=8x+5)...
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