Matematica

E ele, ao desembarcar, viu uma grande multidão; e, compadecendo-se dela, curou os seus enfermos. Chegada à tarde aproximou-se dele os discípulos, dizendo: O lugar é deserto, e à hora é já passada; despede as multidões, para que vão às aldeias, e comprem o que comer. Jesus, porém, lhes disse: Não precisam ir embora; dai-lhes vós de comer. Então eles lhe disseram: Não temos aqui senão cinco pães e dois peixes. E ele disse: trazeis-mos aqui. Tendo mandado às multidões que se reclinassem sobre a relva, tomou os cinco pães e os dois peixes e, erguendo os olhos ao céu, os abençoou; e partindo os pães, deu-os aos discípulos, e os discípulos às multidões. Todos comeram e se fartaram; e dos pedaços que sobejaram levantaram doze cestos cheios. Ora, os que comeram foram cerca de cinco mil homens, além de mulheres e crianças. – Mateus 14:14-21
Por que um artigo que deveria ser sobre matemática começa com a alimentação dos cinco mil?
Nos anos vinte dois matemáticos poloneses – Stephan Banach e Alfred Tarski – provaram um teorema matemático que soa muito como a alimentação de cinco mil. Em sua honra, ele é chamado paradoxo de Banach-Tarski*. As conseqüências do paradoxo de Banach-Tarski são, por exemplo:
Uma laranja pode ser cortada em um número finito de pedaços, e esses pedaços possa então ser juntada novamente para formar duas laranjas, cada uma tendo o mesmo tamanho da que foi cortada em pedaços.

Outra conseqüência, ainda mais bizarra, é:
Uma ervilha pode ser cortada em um número finito de pedaços, e esses pedaços podem então ser reagrupados para formar uma bola sólida com um diâmetro maior do que a distância da Terra ao Sol.
Mais geralmente, sempre que você tiver um corpo tridimensional (com algumas restrições), você pode obter qualquer outro corpo ao quebrar o primeiro em pedaços e reagrupar as partes. Transformar cinco pães e dois peixes em comida suficiente para alimentar uma multidão de mais de cinco mil pessoas parece então um exercício simples.
Se você