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7 Equa»~es diofantinas lineares co
Considere o seguinte problema. Se um trabalhador recebe 510 reais em t¶ ³quetes de alimenta»~o, com valores de 20 reais ou 50 reais cada t¶ ca ³quete, de quantas formas pode ser formado o carn^ de t¶ e ³quetes desse trabalhador ? Se x denota a quantidade de t¶ ³quetes de 20 reais e se y denota a quantidade de t¶ ³quetes de 50 reais ent~o a equa»~o 20x + 50y =510 deve ser satisfeita e o problema ¶ a ca e resolvido determinando-se todas as solu»~es inteiras n~o negativas desta equa»~o. Esta co a ca equa»~o ¶ um exemplo de equa»~o linear diofantina em duas inc¶gnitas. ca e ca o Como outro problema de ilustra»~o, se o custo da postagem de uma encomenda ¶ ca e de 83 centavos e devemos usar selos de 6 e de 15 centavos, como combinar os selos na postagem ? Sex denota a quantidade de selos de 6 centavos e se y denota a quantidade de selos de 15 centavos ent~o a equa»~o 6x + 15y = 85 deve ser satisfeita e o problema a ca e co a ca ¶ resolvido determinando-se todas as solu»~es inteiras n~o negativas de tal equa»~o. Equa»~es polinomiais, em v¶rias inc¶gnitas, com coe¯cientes inteiros (ou racioco a o nais), das quais se buscam solu»~es restritas aoconjunto dos n¶meros inteiros, s~o habico u a tualmente denominadas de equa»~es diofantinas, em refer^ncia a Diofanto de Alexandria, co e algebrista grego do s¶culo 2, que estudou extensamente, em seu livro Arithmetica, a e obten»~o de solu»~es racionais de equa»~es polinomiais, com coe¯cientes racionais, em ca co co v¶rias inc¶gnitas. Fermat foi um estudioso sistem¶tico desse livro, tendo anotado, em ao a uma de suas p¶ginas, sua famosa conjectura, agora teorema, o \¶ltimo teorema de a u Fermat", que declara que n~o existem inteiros positivos x, y e z satisfazendo xn + y n = a z n , quando n ¸ 3. ca O problema de se determinar inteiros x1 , x2 , : : : , xn , satisfazendo uma equa»~o da forma a1 x1 + a2 x2 + ¢ ¢ ¢ + an xn = b, sendo a1 , a2 , : : : , an e b n¶meros inteiros (ou u racionais) ¶ oque chamamos de uma equa»~o diofantina linear. e ca Neste cap¶ ³tulo, estudaremos a equa»~o linear diofantina em duas inc¶gnitas x e ca o y, ax + by = c, sendo a, b e c n¶meros inteiros. Desenvolveremos ainda considera»~es u co estrat¶gicas para a obten»~o de solu»~es de equa»oes lineares diofantinas em tr^s ou e ca co c~ e mais inc¶gnitas. o 59

Equacoes diofantinas lineares »~

60Proposi»~o 7.1 Sejam a, b e c n¶meros inteiros. A equa»~o diofantina ax + by = c ca u ca possui solu»~o se e somente se mdc(a; b) divide c. ca Demonstra»~o. ca ()) Suponhamos que (x0 ; y0 ) ¶ um par de inteiros satisfazento ax0 + by0 = c. e Sendo d = mdc(a; b), temos que d j a e d j b. Logo d j (ax0 + by0 ), ou seja, d j c. (() Seja d = mdc(a; b) e suponhamos que d j c. Ent~o c = d ¢ °, para algum ° 2Z. a Pelo teorema 6.1, cap¶ ³tulo 6, existem inteiros r e s tais que ra + sb = d. Logo, ra° + sb° = d°, ou seja a(r°) + b(s°) = c, e assim (x0 ; y0 ) = (r°; s°) ¶ e solu»~o de ax + by = c. ca

Proposi»~o 7.2 Sendo a e b inteiros, e mdc(a; b) = 1, as solu»~es da equa»~o dioca co ca fantina ax + by = 0 s~o dadas pelas equa»~es param¶tricas a co e ½ x = bt (t 2 Z) y = ¡at Demonstra»~o. Se x = bt ey = ¡at, ent~o ca a ax + by = a(bt) + b(¡at) = abt ¡ abt = 0 Assim, ¶ imediato ver que as equa»~es param¶tricas x = bt e y = ¡at, com t 2 Z, nos e co e d~o solu»~es da equa»~o diofantina ax + by = 0. a co ca Suponhamos agora que x e y s~o inteiros satisfazendo ax + by = 0. Ent~o a a ax = ¡by. Logo b j (ax). Como a e b s~o primos entre si, pela proposi»~o 6.2, cap¶ a ca ³tulo 6, temos que b j x.Existe ent~o t 2 Z tal que x = bt. Substituindo x = bt em ax = ¡by, obtemos a y = ¡at. Portanto, x = bt e y = ¡at, para algum t 2 Z. A equa»~o diofantina ax + by = 0 ¶ o que chamamos de equa»~o linear diofantina ca e ca homog^nea correspondente µ equa»~o ax + by = c (n~o homog^nea se c 60). e a ca a e = Sendo d = mdc(a; b), a proposi»~o 7.1 estabelece que a equa»~o diofantina ax + ca ca by = c tem...
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