Matematica discreta

Matematica a Discreta

A 96 B 96 87 87

A 96 B 96 7 87 8 A⊕B q u uf

A∩B

u h uu ur du u u a b m u ue d c u ui u u lu uj k d us tu d

p n u u

g

Maria do Ros´rio Fernandes a Departamento de Matem´tica a Faculdade de Ciˆncias e Tecnologia e UNL

´ Indice

i

Cap´ ıtulo 1

CONJUNTOS

1.1

Defini¸˜es e Exemplos co

Adoptamos neste curso o conceito intuitivo de conjunto. Assim, um conjunto ´ uma e “colec¸˜o de objectos”, ou seja um “ente matem´tico”que resulta de considerar simultaneca a amente objectos diversos, ditos os seus elementos, como um todo. Denotaremos os conjuntos por letras mai´sculas: u A, B, C, . . . , X, Y, Z, . . . e os objectos por letras min´sculas: u a, b, c, . . . , x, y, z, . . . Escreveremos x ∈ X (que se lˆ “x pertence a X”) para significar que x ´ um elemento e e de X e escreveremos x ∈ X (que se lˆ “x n˜o pertence a X”) para significar que x n˜o ´ um e a a e elemento de X.

Exemplo 1.1

1. lN designa o conjunto dos n´meros naturais: u lN = {1, 2, 3, . . .};

2. Z designa o conjunto dos n´meros inteiros: Z u Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}; Z 3. Q designa o conjunto dos n´meros racionais: l u p Q = { : p ∈ Z q ∈ Z q = 0}; l Z, Z, q 4. lR designa o conjunto dos n´meros reais; u 1

2

CAP´ ITULO 1. CONJUNTOS 5. ∅ ou { } designa o conjunto vazio, isto ´, o conjunto sem elementos. e

Por exemplo: . 2 ∈ lN, 2 ∈ Z 2 ∈ Q, 2 ∈ lR; Z, l . −2 ∈ lN, −2 ∈ Z −2 ∈ Q, −2 ∈ lR; Z, l ∈ Z 1 ∈ Q, 1 ∈ lR; Z, 3 l 3 √ √ √ √ Z, 3 ∈ Q, 3 ∈ lR; l . 3 ∈ lN, 3 ∈ Z . ∈ lN, Outros exemplos: √ 1. A = {−2, 1 , 3, 2}; 3 2. {2n : n ∈ lN}-conjunto dos n´meros naturais pares; u 3. {2n − 1 : n ∈ lN}-conjunto dos n´meros naturais ´ u ımpares; 4. {n ∈ lN : 5 ≤ n < 21}; 5. {x ∈ lR : x2 > 0}; 6. {x ∈ lR : x2 − 3x + 2 = 0}; 7. {x2 − 3x + 2 : x ∈ lR}; 8. {∅}; 9. {{2}, {1, 2}, ∅}; 10. {1, 2, {∅}, {3, 4}}. Observa¸˜o Os conjuntos 6. e 7. do exemplo anterior, s˜o distintos.