Matematica aplicada

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21/03/2013

Matemática Aplicada

Tema 6: Conceito de Derivada

Profa. Ma. Ivonete Melo de Carvalho

Variação Média
• Chama-se de taxa média de variação à razão m, tal que:

m

y y f  yi  x x f  xi

ou , ainda f f ( x  x )  f ( x ) m  x x

Determine a taxa de variação média da função produção dada por P(q) = 3q2 para o intervalo 3 ≤ q ≤ 5.
qi  3 qf  5 m   Pi 3 * 3 2  27 Pf  3 * 5 2  75

P 75  27 48   24  53 2 q

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Incremento
• Um “incremento” é um acréscimo (valor positivo) muito pequeno, tendendo a zero. • A partir do uso de um incremento é que se calcula a variação instantânea de uma função.

Variação Instantânea
Chama-se de taxa de variação instantânea à razão m, tal que:

f h 0 h f ( x  h)  f ( x ) m  limh h 0 m  lim

Estime, numericamente, a taxa de variação instantânea a produção para q = 1. Para facilitar o cálculo, o exercício será resolvido por partes.

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Primeira Parte
• Cálculo de P(1):

P(1)  3 * 12  3 * 1  3
• Cálculo de P(1 + h):

P(1  h)  3 * (1  h)2 P(1  h)  3 * (1  2h  h 2 ) P(1  h)  3  6h  3h 2

Segunda Parte
• Calcular a diferençaP(1  h)  P(1)  3  6h  3h2  3 P(1  h)  P(1)  6h  3h2

Terceira Parte
• Calcular a variação instantânea

6h  3h2 h0 h h * (6  3h) m  lim h0 h m  lim (6  3h) m  lim
h0

m  63*0 m6

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Derivada
Uma derivada mede a taxa de variação instantânea de uma função num determinado ponto.

Variação Instantânea Inclinação da Reta Tangente
O coeficiente m(obtido pela razão incremental) é definido como o coeficiente angular da reta tangente à curva em cada um de seus pontos.

m  lim m  lim

f h0 h f ( x  h)  f ( x ) h h0

Obtenção da Reta Tangente
Para obter a reta tangente, basta fazer:

y  y0  m * (x  x0 )
Exemplo: Escrever a equação da reta tangente à curva y = x3, para x = 1.

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Primeiro Passo
Determinar aderivada da função:

Se y  x 3 então y'  3 x 2
Segundo Passo Calcular o coeficiente angular para x = 1 2

m  y'  3 * 1 m  3 *1 

m3

Terceiro Passo
• Escrever a equação da reta:

Se x  1, tem  se y  13  1, então y  1  3 * ( x  1) y  3x  3  1 y  3x  2

Função Derivada
A derivada de uma função é calculada pela aplicação do limite sobre a razão incremental:

y´ limh 0

f(x  h)  f(x) h

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Primeira Parte
Identificando f(x)

f (x)  x3
Cálculo de f(x + h):

f ( x  h)  ( x  h)3 f ( x  h)  x 3  3 x 2h  3 xh2  h3

Segunda Parte
• Calcular a diferença

f ( x  h)  f ( x )  x 3  3 x 2h  3 xh2  h3  x 3 f ( x  h)  f ( x )  3 x 2h  3 xh2  h3

Terceira Parte
• Calcular a variação instantânea

y'  lim

3 x2h  3 xh2  h3 h0 h h * (3 x 2  3 xh  h2 ) y'  lim h0 h 2 y'  lim (3 x  3 xh  h2 )
h0

y'  3 x 2  3 x * 0  0 2 ) y'  3 x 2

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Derivada
Uma derivada mede a taxa de variação instantânea de uma função num determinado ponto.

Matemática Aplicada

Tema 7: Conceito de Derivada

Profa. Ma. Ivonete Melo de Carvalho

Regras de Derivação
Você aprendeu que aderivada de uma função é calculada pela aplicação do limite sobre a razão incremental:

y´ lim

h 0

f(x  h)  f(x) h

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Regras de Derivação
Para simplificar esse cálculo, você aprenderá algumas regras de derivação. Primeira regra: função constante. Se f(x) = k então f’(x) = 0
f(x) 3 –4 0,37 f’(x) 0 0 0

Potência de x
• Se a função é do tipo f(x) = xn então aderivada será f’(x) = n*xn - 1
f(x) x2 x–5 x0,5 f’(x) 2x1 -5x–6 0,5x–0,5

Constante Multiplicando Função
Se a função é do tipo f(x) = k * u(x) então f’(x) = k * u’(x) Exemplo:
f(x) 3x 0,37x2 2x4 f’(x) 3*1x0 = 3 0,37*2x1 = 0,74x 2*4x3 = 8x3

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Soma ou Diferença de Funções
• Se há f(x) = u(x) + v(x) a derivada será: f’(x) = u’(x) + v’(x) • Se há f(x) = u(x) – v(x) a derivada...
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