Matemática discreta

Trabalho de Matemática Discreta

1. Fixemos uma unidade de medida u. Sejam AB e CD dois segmentos comensuráveis entre si. Responda às perguntas a seguir, justificando suas respostas. a) Podemos afirmar que as medidas de AB e de CD em relação a u são números racionais? b) Se a medida de AB é um número racional, o que podemos afirmar sobre a medida de CD?

a) Sim. Como AB e CD são comensuráveis, então existe a,b∈N tais que AB=a.u e CD=b.u. Portanto, em relação a u, AB e CD são racionais, pois resultam do produto da unidade por um natural.

b) Temos AB=a.u, AB racional e a∈N, logo u é racional. Então CD também é racional, pois é o produto de um natural com um racional.

2. Explique por que a unicidade da decomposição em fatores primos é importante na demonstração de 2 é irracional.

Pois, supondo 2=pq com p,q∈Z e q≠0 chegamos em p2=2q2 I É pela unicidade da decomposição em fatores primos que podemos comparar os dois lados da igualdade I, sendo que p2 é expresso unicamente como produto de fatores primos com expoente par. Por outro lado, ao decompormos 2q2 sabemos que o expoente do fator primo “2” é ímpar, pois em q2 há um número par de fatores “2”. O que é uma contradição.

3. O objetivo desta questão é generalizar a demonstração de que 2∉Q. a) Adapte a demonstração para concluir que se p∈N é um número primo, então p∉Q. b) Dado n∈N qualquer, mostre que n∈Q⇒n∈N. Isto é, não pode existir um número natural cuja raiz quadrada seja um racional não inteiro.

a) Vamos supor por absurdo que p∈Q, logo existe m,n∈N tal que p=mn, então: p=mn⇒p2=mn2⇒n2p=m2 Note que n2p=m2 é uma contradição, pois sendo p primo, a quantidade de fatores de p no lado esquerdo da equação é ímpar e no lado direito é par.
Logo, p∉Q, para qualquer p∈N primo.

b) Como n é racional ele pode ser escrito como n=pq com p,q∈Z e q≠0. Então: n=pq⇒n=p2q2⇒p2=n.q2 Analogamente ao item anterior, temos que essa expressão não é válida para todo q. Para que a