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Cap´ ıtulo 1

L´gica Modal o
1.1 Introdu¸˜o ca

Neste cap´ ıtulo ´ apresentada a l´gica modal, mais precisamente, a l´gica modal de e o o base proposicional. Em primeiro lugar apresentam-se os aspectos sint´cticos e semˆnticos da l´gica. a a o Seguidamente apresentam-se diferentes sistemas de l´gica modal e finalmente apreo sentam-se sistemas de dedu¸˜o natural para v´rios sistemas de l´gicamodal. Faz-se ca a o ainda referˆncia ` utiliza¸˜o do ambiente Isabelle para desenvolvimento de deriva¸˜es e a ca co nesses sistemas de dedu¸˜o natural. S˜o por ultimo apresentados resultados de corca a ´ rec¸˜o e completude para os sistemas de dedu¸˜o natural descritos. ca ca A l´gica modal permite exprimir de um modo expl´ o ıcito as no¸˜es de necessidade co e possibilidade: permite exprimir queuma dada asser¸˜o ´ necessariamente verdaca e deira (i.e., n˜o se concebe nenhuma situa¸˜o em que possa ser falsa) e que uma dada a ca asser¸˜o ´ possivelmente verdadeira (i.e., concebe-se que possam existir situa¸˜es em ca e co que ´ verdadeira podendo, no entanto, existirem tamb´m situa¸˜es em que ´ falsa). e e co e Para tal ´ introduzido o operador modal 2, designado operador necessidade, oqual e vai ser aplicado a f´rmulas: sendo ϕ uma f´rmula, 2ϕ ´ uma nova f´rmula que o o e o permite exprimir a no¸˜o de que ´ necessariamente verdadeira a asser¸˜o represenca e ca ´ tada por ϕ. E ainda considerado (eventualmente por abreviatura) o operador modal 3, designado operador possibilidade, que permite construir f´rmulas do tipo 3ϕ o relativas a asser¸˜es possivelmente verdadeiras. co 1 Introdu¸˜o ca

A l´gica modal serve de base a muitas outras l´gicas as quais tˆm aplica¸˜es muito o o e co diversas. Nessas l´gicas, os operadores modais tˆm por vezes interpreta¸˜es distintas o e co das originais. Algumas dessas l´gicas s˜o extens˜es da l´gica modal tal como ´ o a o o e apresentada neste cap´ ıtulo, ou seja, s˜o introduzidos mais operadores modais. Outras a representamaplica¸˜es espec´ co ıficas da l´gica modal tal como ´ aqui apresentada mas o e que, pela sua importˆncia, deram origem a novas designa¸˜es. Seguem-se alguns a co exemplos dessas l´gicas. Exemplos de textos relevantes sobre l´gica modal s˜o [5], o o a [12] e [2]. A l´gica temporal ´ uma l´gica que tem por objectivo permitir a representa¸˜o o e o ca da varia¸˜o da veracidade das asser¸˜es ao longo do tempo.Uma asser¸˜o pode, por ca co ca exemplo, ser verdadeira num certo dia mas j´ o n˜o ser no dia seguinte. Neste caso o a a operador 2 permite representar a no¸˜o de sempre no futuro e o operador 3 a no¸˜o ca ca de alguma vez no futuro. Neste contexto ´ usual introduzir mais operadores. Em e particular, ´ usual considerar o operador , que representa a no¸˜o de no pr´ximo e ca o instante. Esta l´gicatem, entre outras, aplica¸˜es no campo da especifica¸˜o e verio co ca fica¸˜o de sistemas reactivos (sistemas concorrentes, sistemas distribu´ ca ıdos, protocolos de comunica¸˜o, etc.). Exemplos de textos sobre l´gica temporal s˜o [10] e [9]. ca o a A l´gica deˆntica ´ a chamada l´gica das obriga¸˜es e permiss˜es. Neste caso o o o e o co o operador 2 permite representar a no¸˜o de obrigatoriedade,i.e., 2ϕ exprime a no¸˜o ca ca de que ´ obrigat´ria a asser¸˜o representada por ϕ. O operador 3 representa a no¸˜o e o ca ca de permiss˜o, i.e., 3ϕ exprime a no¸˜o de que ´ permitida a asser¸˜o representada a ca e ca por ϕ. Esta l´gica tem aplica¸˜es em, por exemplo, representa¸˜o do conhecimento o co ca na ´rea do Direito e na especifica¸˜o de organiza¸˜es. Exemplos de textos sobre a ca co l´gicadeˆntica s˜o [5], ....... o o a No contexto da l´gica epist´mica, 2Ag ϕ pode exprimir a no¸˜o de que um agente o e ca Ag sabe a asser¸˜o representada por ϕ (e muitas vezes o operador 2 ´ substitu´ ca e ıdo por K - knowledge). Um outro caso ´ aquele em que 2Ag ϕ exprime a no¸˜o de que e ca um agente Ag acredita na asser¸˜o representada por ϕ (e muitas vezes o operador 2 ca ´ substitu´ por B -...
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