Logica de predicados - trabalho

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Diego Alves Rodrigues Mat: 10911064 E-mail: diegoalves@di.ufpb.br José Ivan Bezerra Vilarouca Filho Mat: 10911040 E-mail: ivanfilho2204@hotmail.com Marcos Antonio Limeira Segundo Mat: 10911049 E-mail: marquinhos_geojp@hotmail.com

1. Introdução Sócrates é homem. Todo homem é mortal. Logo, Sócrates é mortal. Intuitivamente, podemos ver que a argumentação acima é válida. Se formosescrevê-la usando a lógica proposicional, teremos esta construção {p, q} ⊩ r. Porém não conseguimos provar que essa construção é válida, pois a validade do argumento está baseada no significado da palavra “todo”. Para tratar esse tipo de construção necessitamos da Lógica de Predicado ou Lógica de Primeira Ordem. A lógica de predicados estende a lógica proposicional tornando-a mais expressiva, pois, agora,podemos criar características para um conjunto de indivíduos além de, também, podermos quantificar nossas proposições. A linguagem de primeira ordem vai captar relações entre indivíduos de um mesmo universo de discurso e permitir concluir particularizações de uma propriedade geral dos indivíduos de um universo de discurso, assim como derivar generalizações a partir de fatos que valem para umindivíduo arbitrário do universo de discurso. Essa relação entre objetos de um mesmo universo é representada pelos predicados.

2. Sintaxe 2.1. Alfabeto O alfabeto da lógica de predicados é formado pelos já conhecidos conectivos da lógica proposicional (¬, →, ↔, ∧, ∨), símbolos de pontuação “(“ e ”)”, símbolos de verdade (true e false), um conjunto enumerável de símbolos para predicados, um conjuntoenumerável de símbolos para variáveis, um conjunto enumerável de símbolos para funções e os quantificadores (∃, ∀) que sempre estão ligados às variáveis. O primeiro significa a existência de, pelo menos, um indivíduo de um universo que satisfaz alguma propriedade e o segundo, que todos os indivíduos de um universo satisfazem uma característica. Como exemplos dos quantificadores têm: Temos asseguintes sentenças: “Todo número é igual a si” e “Existem números pares”. Podemos expressar a primeira usando: ∀x ∈ ℝ, x = x e a segunda desse modo: ∃x ∈ ℝ | x = 2n, n ∈ ℕ. 2.1.1. Aridade Para cada símbolo de função ou predicado, temos uma aridade associada k, com k ≥ 0. Essa aridade nos indica quantos argumentos a função ou o predicado recebem. Por exemplo, temos uma função definida

da seguintemaneira: : ℝ2 → ℝ | (x, y) = x + y. Essa função aridade dois, pois ela recebe dois argumentos, x e y.

tem

2.2. Assinatura Uma assinatura declara quais símbolos que serão usados para a construção de uma linguagem específica além de sinalizar um contexto ou aplicação em particular. Uma assinatura para lógica de predicados é uma tupla ∑ = [R, C, V, F1, F2, ... , Fn]. Onde R é um conjunto depredicados. C é um conjunto de constantes e Fn é um conjunto de funções n-ádicas, ou seja, funções com n argumentos, n ≥ 1 e V é um conjunto de variáveis. Cada um desses conjuntos pode ser vazio, finito ou infinito. Exemplo de assinatura: Uma possível assinatura para aritmética: ∑Arit = [R, C, V, F2] com R = {maior, menor, igual, ... }, C = {0, 1, 2, 3, ...}, V = { 1, 2, 3, ...} e F2 = {soma, sub,div, ... } 2.3. Termos Termos são meios sintáticos que servem para representar elementos do domínio de uma determinada aplicação. Um termo ou é uma constante, uma variável, ou então um símbolo de função aplicado a argumentos que são termos, ou seja, termos sempre estão relacionados a objetos. Cada assinatura gera um sistema de regras de inferência para a construção da linguagem dos termos daquelaassinatura. Exemplos de termos: 1, 2 (constantes) ( 3, 4) se e somente se é binária ( 1, ( 5, 3), 2) se e somente se é ternária soma(9,10), sub(9,5) h( 1, 2, 3), considerada implicitamente como ternária 2.4. Fórmulas Fórmulas são objetos sintáticos que denotam certas propriedades que determinados elementos do domínio possam ou não possuir. Fórmulas atômicas são construídas com símbolos de...
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