Lista traduzida do cohen cap: 2

MECÂNICA QUÂNTICA-EXERCICIOS LISTA 01

Notação de Dirac. Comutadores. Autovetores e autovalores

1. são os autovetores de um operador hermitiano H (H é, por exemplo, o Hamiltoniano de um sistema físico arbitrário). Suponha que os estados forma uma base discreta ortonormal. O operador de U (m, n) é definida por: U (m,n) = a) Calcular o adjunto de b) Calcular o comutador [H, U (m, n)]. c) Provar a relação: .

d) Calcular Tr {U (m, n)}, o rastreio do operador U (m, n). e) Seja A um operador, com elementos de matriz a relação: . Provar

f) Mostre que 2. Num espaço vetorial bidimensional, considere o operador cuja matriz, em uma base ortonormal , está escrito:

a)

hermitiano? Calcular seus autovalores e autovetores (dando sua expansão normalizada em termos de base ). b) Calcule as matrizes que representam os projetores para estes autovetores. Em seguida, verificar que satisfazem as relações de ortogonalidade e fechamento. c) Mesmas perguntas para as matrizes:

e, no espaço tridimensional.

3. O espaço de estado de um determinado sistema físico é tridimensional. Temos uma base ortonormal deste espaço. Os kets e são definidos por:

a) Esses kets são normalizados? b) Calcule as matrizes e que representam, na base operadores projeção sobre o estado e para o estado essas matrizes são Hermitianas. 4. Seja K o operador definido por espaço de estado. a) Sob que condições K é hermitiano? b) Calcular . Sob que condições K é um projetor? , onde e

os . Verifique se

são dois vetores do

c) Mostre que K sempre pode ser escrito na forma constante a ser calculado e são projetores.

em que

é uma

5. Vamos ser o projetor ortogonal sobre o subespaço , o projetor ortogonal sobre o subespaço . Mostram que, para o produto para ser um projetor ortogonal bem, é necessário e suficiente que e comutar. Neste caso, qual é o subespaço no qual projeta? 6. A matriz é definida por:

Prove a relação: Onde I é uma matriz unitária 2x2.

7. Estabelecer, para a