Lista Resolvida

MAE0211 - Probabilidade I
Fernando Henrique Ferraz Pereira da Rosa
13 de junho de 2003
Lista 81
3. Para determinar a existˆencia de certa doen¸ca, 100 pessoas s˜ ao submetidas a um teste sang¨ u´ıneo. Contudo decide-se realizar o teste em grupos de 10 pessoas, isto ´e, o sangue de cada grupo ser´ a misturado para fazer o teste.
Se o resultado for negativo um teste ´e suficiente para as 10 pessoas e se o teste ´e positivo, cada uma das 10 pessoas ser´ a testada individualmente e, para tal grupo ser˜ ao realizados 11 testes. Assuma que qualquer pessoa, independente das outras, tenha probabilidade 0.1 de ter a doen¸ca e calcule o n´ umero esperado de testes necess´ arios para as 100 pessoas.
Seja Xi a vari´ avel aleat´ oria: n´ umero de testes realizados no i-´esimo grupo
(i = 1,. . . ,10).
Se consideramos o n´ umero de pessoas doentes por grupo como uma binomial com parˆ ametros n = 10 e p = 0.1, ´e f´ acil notar que a fun¸ca
˜o de probabilidade de Xi ser´ a dada por:
Xi
pj

1
0.910

11
1 − 0.910

Ent˜ ao: E[Xi ] = 0.910 + 11(1 − 0.910 ) = 7.5132
Do enunciado queremos:
10

10

Xi =

E i=1 E[Xi ] = 10 × 7.5132 = 75.132 i=1 Esse portanto ser´ a o n´ umero esperado de testes a ser realizado.
5. Uma urna cont´em 5 bolas brancas e seis pretas, enquanto uma segunda urna cont´em 8 bolas brancas e 10 pretas. Duas bolas s˜ ao selecionadas aleatoriamente da primeira e colocadas na segunda urna. Se trˆes bolas
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s˜ ao selecionadas casualmente da segunda urna, qual o n´ umero esperado de bolas brancas entre estas trˆes?
Sejam as var´ıaveis aleat´ orias: X
Y

:
:

# de bolas brancas selecionadas da 1a. urna em 2 retiradas.
# de bolas brancas selecionadas da 2a. urna em 3 retiradas.

Queremos E[Y ], mas n˜ ao temos como saber isso diretamente pois a propor¸ca
˜o de blas brancas e pretas na segunda urna vai variar conforme selecionarmos as bolas da primeira urna. Basta ent˜ ao condicionarmos E[Y ] sobre os valores