Lista II calculo de varias variaveis

Disciplina: Cálculo de Várias Variáveis - 2º/2015
Professora: Mariana de Mendonça Melo
Conteúdo: Derivadas Parciais, Derivadas de ordem Superior, Regra da Cadeia, Derivação Implícita.

Lista II
Lista de exercícios do livro: THOMAS, George B. Cálculo, vol. 2. Editora: Pearson, 12ªed.
(esse livro consta no acervo da biblioteca virtual do Uni-bh)
Exercícios sugeridos
Pág. Inicial
234
1 a 19

Capítulos
14
14
14
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235
243
244

41 a 50
1a8
25 a 32 (Derivada Implícita)

1) Calcule as derivadas parciais indicadas
𝑎) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 9 − 𝑥 2 − 7𝑦 3 ; 𝑓𝑥 (3,1), 𝑓𝑦 (3,1)
𝑏) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 𝑦𝑒 𝑥𝑦 ;
𝑐) 𝑧 = √𝑥 2 + 4𝑦 2 ;

𝜕
𝜕
𝑓 (1,1), 𝑓(1,1)
𝜕𝑥
𝜕𝑦

𝜕
𝜕
𝑧 (1,2), 𝑧(1,2)
𝜕𝑥
𝜕𝑦

𝑑) 𝑤 = 𝑥 2 cos(𝑥𝑦) ;

𝜕
1
𝜕
1
𝑤 ( , 𝜋) , 𝑤 ( , 𝜋)
𝜕𝑥
2
𝜕𝑦
2

2) Confirme que as derivadas parciais de segunda ordem mistas de 𝑓 são iguais.
𝑎) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4𝑥 2 − 8𝑥𝑦 4 + 7𝑦 5 − 3
𝑏) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒 𝑥 cos 𝑦
𝑐) 𝑓(𝑥, 𝑦) = ln(4𝑥 − 5𝑦)
𝑑) 𝑓(𝑥, 𝑦) =

𝑥2 − 𝑦2
𝑥2 + 𝑦2

3) Seja 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 3 𝑦 5 𝑧 7 + 𝑥𝑦 2 + 𝑦 3 𝑧. Determine
𝑎) 𝑓𝑥𝑦

𝑏)𝑓𝑦𝑧

𝑔) 𝑓𝑧𝑦𝑥

ℎ) 𝑓𝑥𝑥𝑦𝑧

𝑐) 𝑓𝑥𝑧

𝑑) 𝑓𝑧𝑧 𝑒) 𝑓𝑧𝑦𝑦 𝑓) 𝑓𝑥𝑥𝑦

4) A concentração 𝐶 de bactérias no sangue (em milhões de bactérias/ml) após a aplicação de um antibiótico é uma função da dose injetada 𝑥 (em g) e do tempo 𝑡 (em horas) a partir da injeção.
Suponha que 𝐶 = 𝑓(𝑥, 𝑡) = 𝑡𝑒 −𝑥𝑡 . Calcule cada uma das quantidades 𝑓𝑥 (1,2) e 𝑓𝑡 (1,2) e explique o significado de cada uma delas na prática.
1

Disciplina: Cálculo de Várias Variáveis - 2º/2015
Professora: Mariana de Mendonça Melo
Conteúdo: Derivadas Parciais, Derivadas de ordem Superior, Regra da Cadeia, Derivação Implícita.

5) Considere uma pequena empresa de impressão, em que 𝑁 é o número de funcionários, V é o valor dos equipamentos (em unidades de R$25.000,00) e 𝑃 é a produção, medida em milhares de páginas por dia. Suponha que a função de produção desta companhia é dada por
𝑃 = 𝑓(𝑁, 𝑉) = 2𝑁 0,6