Lista de met

Lista 1 de Álgebra Linear Prof. Thiago Ritto ([e-mail]) . Para ser entregue até segunda-feira, dia 1 de abril de 2013. * Os exercícios não devem ser feitos no computador, entretanto, o computador pode ser usado para verificar os resultados. 1) Resolva os   x1 (a) 2x1  5x1   x1 (c) 2x1  3x1 sistemas lineares abaixo, i.e., calcule x = (x1 , x2 , x3 ):  +2x2 +3x3 = 6  x1 +2x2 +3x3 = 6 +5x2 +7x3 = 14 , (b) 2x1 +5x2 +7x3 = 14 ,  +7x2 +11x3 = 23 3x1 +7x2 +10x3 = 20 +2x2 +3x3 = 6 +5x2 +7x3 = 14 . +7x2 +10x3 = 21

2) Calcule os determinantes (det : Rm×m → R) das matrizes:     2 8 6 4 2 −2  4 2 −2  ∈ R3×3 , 3 ×  2 8 6  ∈ R3×3 3 −1 1 3 −1 1   2 8 2×6  4 2 2 × −2  ∈ R3×3 3 −1 2 × 1 3) Seja uma transformação linear T : Rn → Rm representada por uma matriz A ∈ Rm×n . Faça eliminação de Gauss nessas matrizes e calcule os seus respectivos ranks.     2 2 1 2 8 6 1    4 2 −2 1  ∈ R3×4 ,  1 1 2  ∈ R4×3 .  5 5 4  3 −1 1 0 0 0 0 4) Verifique se o conjunto de vetores são linearmente independentes: (a) (2, −1, 4), (3, 6, 2), (2, 10, −4) ∈ R3 , (b) (1, 3, 3), (0, 1, 4), (5, 6, 3), (7, 2, −1) ∈ R3 , (c) (4, −4, 8, 0), (2, 2, 4, 0), (6, 0, 0, 2), (6, 3, −3, 0) ∈ R4 , (d) (3, 0, 4, 1), (6, 2, −1, 2), (−1, 3, 5, 1), (−3, 7, 8, 3) ∈ R4 : 5) (a) Calcule a projeção do vetor (5, 3, 2, −9) ∈ R4 na direção (0.5, 0.5, 0.5, 0.5), (b) calcule a distância entre os vetores (5, 3, 2, −9) ∈ R4 e (0.5, 0.5, 0.5, 0.5) ∈ 1

R4 , (c) Calcule o ângulo formado pelos vetores (5, 3, 2, −9) ∈ R4 e (1 2, −3, 7) ∈ R4 . (d) Verifique se os vetores ∈ R3 a seguir se encontram no mesmo plano: (1, 0, −2), (3, 1, 2), (1, −1, 0). 6) (a) que matriz B ∈ R3×3 multiplicada por A ∈ R3×3 faz com que a terceira linha de A seja somada com duas vezes sua segunda linha? (b) que matriz B ∈ R3×3 multiplicada por A ∈ R3×3 troca a terceira linha de A pela sua primeira linha? 7) Obtenha uma expressão para An : (a) A = 1 1 0 1 , (b) A = cos(θ) − sin(θ) sin(θ) cos(θ) .

8) Dados os