LISTA DE EXERCICIOS DE CALCULO 3

Nos exercícios

a

01

08,

calcule



f ( x , y ) d x d y , onde D é a região descrita em cada caso.

D
01.

f ( x , y) 

02.

f ( x , y) 

( x  y) 2 x2 2

, D o retângulo 3  x  4 , 1  y  2 .

, D no 1º quadrante, limitada pelas retas y  x , x  2 e pela hipérbole y 

y f ( x , y)  x , D o triângulo cujos vértices são ( 0 , 0 ) , (1, 1) e ( 0 , 1) .

03.
04.

1

1
.
x

f ( x , y)  x , D no 1º quadrante, limitada pela reta x  y  2 e pelo arco da circunferência de raio 1, que tem seu centro no ponto ( 0 , 1) . x , D limitada pela parábola y 2  x e pelas retas x  0 e y  1 .

05.

f ( x , y)  e

06.

f ( x , y)  x 2  y 2 , D o triângulo cujos vértices são ( 0 , 0 ) , (1,  1) e (1, 1) .

07.

f ( x , y) 

y

x x2y2 , D limitada pela parábola y 

( Sugestão:  arctg u d u  u arctg u 
08.

x2 e pela reta y  x .
2

1 ln( 1  u 2 )  c )
2

f ( x , y)  x 2  y 2 , D no 1º quadrante, limitada pelos eixos coordenados e pela circunferência de centro na origem e raio a .

Nos exercícios 09 a 12, escreva as integrais dadas com a ordem de integração invertida.
1 3x

4 12 x

09.

 
(

f ( x, y ) d y ) d x

10.

0 3x2

a

11.

0

13.

1

12.

f ( x, y ) d y ) d x


D

1

x2 a2 

y2 b2 1 y

( 
0 

a2  x2
2a

Calcule

f ( x, y) d y ) d x

0 2x

a2  x2

( 

( 

f ( x, y) d x ) d y

1  y2

d x d y , sendo D  { ( x , y )  R /
2

x2 a2 

y2 b2  1}.

( Sugestão:Faça x  a u e y  b v )
14.

Calcule

 ( x  y )

2

sen 2 ( x  y ) d x d y , onde D  { ( x , y )  R / | x |  | y |   } .

D

( Sugestão:Faça u  x  y e v  x  y )

2

15.



2

Se D  { ( x , y )  R / | x |  | y |  1 } , mostre que

1

f ( x y)d xd y 

 f (u ) du .

1

D

( Sugestão: Faça u  x  y e v  y )
16.

Calcule a área da região que não contém a