Lista de Calculo

Universidade de Bras´ ılia Departamento de Matem´tica a C´lculo 1 a Lista de Fixa¸˜o – Semana 12 ca Temas abordados: Integral Indefinida e Regra da Substitui¸˜o ca Se¸˜es do livro: 5.5 co 1) Calcule as integrais abaixo.
∫
(a) x(x2 + 1)2013 dx
∫
x
(c) ee ex dx
∫
1
√ dv
√
(e) v(1 + v)5
∫
arcsen(y)
√
(g) dy 2 1 − y2
∫
(i) sen(x)sen2 (x)dx

∫
(b)

tan(x)dx
∫

(d)

√ x x − 1dx

∫ sen2 (θ)dθ

(f)
∫
(h)

(1 + e−at ) 2 e−at dt

∫ √
(j)

3

√ x + 1dx.

2) Em cada um dos itens abaixo, determine uma fun¸˜o cuja derivada coincida com a fun¸˜o ca ca dada. (
)
1
5
(a) f (t) = −2 cos(t)
(b) f (x) =
−
x 1 + x2
(
) t (c) f (t) = 3t2 + 2
(d) f (θ) = 7 sen(θ/3)
(
)
√
√
3
−x
(e) f (x) = ( x + 3 x)
(f) f (x) = e + √
1 − x2
3) Lembrando que duas fun¸˜es que possuem a mesma derivada em um intervalo diferem co por uma constante, determine a fun¸˜o y(x) que satisfaz as condi¸˜es abaixo. ca co
(a) y ′ (x) = e3x + 5e−x e o gr´fico de y passa pelo ponto (0, −5) a (b) y ′ (x) = 1 + tan2 (x),
′

(c) y (x) = x
′

−2

− 6x −
2

y(0) = 2
1
,
3

y(1) = −1

−3

(d) y (x) = 2x(1 − x ) e o gr´fico de y passa pelo ponto (2, 3) a 4) Suponha que a velocidade m´ ınima para que um objeto escape da for¸a gravitacional da c Terra seja dada por
∫
∫
1
dx, vdv = −M G x2 onde M representa a massa da Terra, G a constante gravitacional e x a distˆncia at´ o a e centro da Terra. Considere que no instante inicial x = R, R o raio da Terra, e mostre que v e x est˜o relacionados pela equa¸˜o a ca
(
)
1
1
2
2 v = v0 + 2M G
−
, x R onde v0 ´ a velocidade inicial. e Lista de Fixa¸ao da Semana 12 - P´gina 1 de 2 c˜ a

5) A velocidade de queda de um corpo com massa m caindo verticalmente ap´s t segundos o pode ser modelada por mg v=
(1 − e−mt/k ), k desde que suponhamos que a resistˆncia do ar seja proporcional ao valor de v, onde e g representa a acelera¸ao