Limites

1 MAT001 Cálculo Diferencial e Integral I
RESUMO DA AULA TEÓRICA 5 Livro do Stewart: Seções 2.1 a 2.4.
MOTIVAÇÃO PARA A DEFINIÇÃO DE LIMITES Para motivar a idéia de limites de funções, vamos definir o conceito de reta tangente ao gráfico de uma função y  f ( x ) no ponto P  ( a, f (a )) . Então seja P  ( a, f ( a )) um ponto sobre o gráfico da função y  f ( x ) . Agora considere

Q  ( x, f ( x)) sobre o gráfico dessa função. A reta que passa pelos pontos P e Q é chamada de reta secante ao gráfico de f (veja ilustração na figura um outro ponto abaixo).

P fixo e aproximamos Q de   P , parece que a reta secante PQ tende a uma certa posição, que é a da reta tangente ao gráfico de f no ponto P . Desse modo, ao fazermos x tender ao número a vemos   f ( x)  f (a) que o coeficiente angular mPQ  da reta secante PQ tende ao coeficiente xa angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto P . Assim, se existir o limite da f ( x)  f (a) expressão mPQ  quando x tende ao número a , representamos esse limite xa por f (a ) e dizemos que a reta tangente ao gráfico de f no ponto P é aquela que passa por P e tem coeficiente angular f (a ) . Portanto essa reta tem equação y  f (a)  f (a)  ( x  a) .
Essa é uma motivação que vem da necessidade de entender o significado da expressão: “o limite de uma função y  g ( x ) quando x tende a um número previamente fixado”.

Observe que, intuitivamente , quando mantemos o ponto

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LIMITES DE FUNÇÕES: DEFINIÇÃO E INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA  Definição de limite: dizemos que uma função

y  f ( x) tem limite L quando x tende a um número a se, dado   0 existir   0 tal que | f ( x)  L |   para todo x  a tal que | x  a |   . Se esse é o caso escrevemos L  lim f ( x) . xa  

Definir limites laterais: a direita

x  a

lim f ( x) e a esquerda lim f ( x) . x  a

Exploração do conceito de limite através de gráficos. Exemplo: em cada um dos gráficos abaixo identificar, caso estejam