Limites

limites1

LIMITES

1. Noção Intuitiva de Limite
Exemplo: Seja a função f(x) = x + 2. O que acontece com os valores de f(x) quando x se aproxima de 2? Para x < 2 Para x > 2

A tabela nos mostra que, à medida que x se aproxima de 2 por valores menores que 2 (pela esquerda) ou por valores maiores que 2 (pela direita), f(x) de aproxima de 4. Podemos perceber esta aproximação através do gráfico de f(x) = x + 2. Gráfico:
5 4

3

2

1

3

2

1 1

1

2

3

Geometricamente, também observamos que f(x) fica próximo de 4 conforme x se aproxima de 2 pela direita e pela esquerda. Então, podemos dizer que:  o limite de x + 2 quando x tende a 2 pela esquerda é igual a 4, e indicamos: ( )

 o limite de x + 2 quando x tende a 2 pela direita é igual a 4, e indicamos: ( )

Em vez das duas indicações anteriores, podemos utilizar a seguinte representação única: ( Lê-se: o limite de x + 2 quando x tende a 2 é igual a 4. Outros exemplos: )

2
1) Sendo f ( x)  
 x  2 se x  2 , calcular lim f ( x) . x 2  1 se x  2

2) Calcular lim

3x 3  3x 2 . x  1 2 x  2

3) Sendo f ( x)  

se x  3  x , calcular lim f ( x) . x 3  x  2 se x  3

4) Seja f ( x)  indicado.

x9 x 3

. Determine lim f ( x) e esboce o gráfico de f ilustrando graficamente o limite x 9

2. Definição de Limite
Exemplo: Seja a função f ( x)  (2x  1)(x  1) definida para todo x real e x  1 . x 1

Se x  1 , obtemos f (x)  2x  1 . Analisemos os valores da função f quando x assume valores próximos de 1, mas diferentes de 1.

Atribuindo a x valores próximos de 1, porém menores do que 1, obtemos:

x f(x)

0 1

0,5 2

0,75 2,5

0,9 2,8

0,99 2,98

0,999 2,998

Se atribuirmos a x valores próximos de 1, porém maiores do que 1, obtemos:

x f(x)

2 5

1,5 4

1,25 3,5

1,1 3,2

1,01 3,02

1,001 3,002

Podemos perceber esta aproximação através do gráfico de f(x) = 2x+1.

Gráfico:

3
4

2

2

1

1

2

2