Limites em r

Instituto Superior T´cnico e Departamento de Matem´tica a ´
Sec¸˜o de Algebra e An´lise ca a

Exerc´ ıcios Resolvidos
Limites e Continuidade

Exerc´ ıcio 1 Calcule ou mostre que n˜o existem os limites seguintes a a)

x3
(x,y )→(0,0) x2 + y 2

b)

x3
(x,y )→(0,0) x4 + y 2

c)

x3 + 2y 4
.
(x,y )→(0,0) x2 + y 2

lim

lim lim Resolu¸˜o: ca a) Note-se que
(x2 + y 2 ) x2 + y 2 x2 x x3 =2
≤
= x2 + y 2 x + y2 x2 + y 2 e, portanto,

x2 + y 2,

x3
= 0.
(x,y )→(0,0) x2 + y 2 lim b) Seja g (x, y ) =

x3
. Assim, por um lado temos x4 + y 2 g (0, y ) =

0
= 0, y2 e, por outro g (x, 0) =
Ent˜o n˜o existe o limite aa 1
,
x

∀y = 0,
∀x = 0.

x3
.
(x,y )→(0,0) x4 + y 2 lim c) Dado que x2 + y 2 ≥ x2 e que x2 + y 2 ≥ y 2 , teremos

x3 + 2y 4
≤ |x| + 2|y |2 ≤ (x, y ) + 2 (x, y ) x2 + y 2

e, portanto, o limite existe e o seu valor ´ 0. e 2

Exerc´ ıcio 2 Considere a fun¸˜o f (x, y ) = x log(xy ). ca 1. Indique, justificando, em que pontos ´ que a fun¸˜o f ´ cont´ e ca e ınua.
2. Mostre que, sendo S uma recta que passa pela origem e contida no dom´ ınio D de f o limite de f na origem relativo ao conjunto S , lim (x,y )→(0,0)

f (x, y ),

(x,y )∈S

existe e com o mesmo valor para toda as rectas nas condi¸˜es indicadas. co 3. Mostre que n˜o existe lim(x,y)→(0,0) f (x, y ). (Sugest˜o: estude o limite relativo ao a a
1
subconjunto de D formado pelos pontos que pertencem ` linha de equa¸˜o y = e− x2 ). a ca

Resolu¸˜o: ca 1. A fun¸˜o f ´ cont´ ca e ınua no seu dom´ ınio D = {(x, y ) ∈ R2 : xy > 0}, pois a fun¸˜o ca g (x, y ) = log xy ´ cont´ e ınua neste dom´ ınio por ser a composta de fun¸˜es cont´ co ınuas
(g = ψ ◦ ϕ onde ψ (u) = log u e ϕ(x, y ) = xy ) e portanto f (x, y ) = xg (x, y ) ´ cont´ e ınua pois ´ o produto de fun¸˜es cont´ e co ınuas. 2. Consideremos as rectas que passam pela origem com declive m e que est˜o contidas a 2