Limites em r

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Instituto Superior T´cnico
e
Departamento de Matem´tica
a
´
Sec¸˜o de Algebra e An´lise
ca
a

Exerc´
ıcios Resolvidos
Limites e Continuidade

Exerc´
ıcio 1 Calcule ou mostre que n˜oexistem os limites seguintes
a
a)

x3
(x,y )→(0,0) x2 + y 2

b)

x3
(x,y )→(0,0) x4 + y 2

c)

x3 + 2y 4
.
(x,y )→(0,0) x2 + y 2

lim

lim
lim

Resolu¸˜o:
ca
a) Note-se que
(x2+ y 2 ) x2 + y 2
x2 x
x3
=2

=
x2 + y 2
x + y2
x2 + y 2
e, portanto,

x2 + y 2,

x3
= 0.
(x,y )→(0,0) x2 + y 2
lim

b) Seja g (x, y ) =

x3
. Assim, por um lado temos
x4 + y 2g (0, y ) =

0
= 0,
y2

e, por outro
g (x, 0) =
Ent˜o n˜o existe o limite
aa

1
,
x

∀y = 0,
∀x = 0.

x3
.
(x,y )→(0,0) x4 + y 2
lim

c) Dado que x2 + y 2 ≥ x2 e que x2 + y 2 ≥y 2 , teremos

x3 + 2y 4
≤ |x| + 2|y |2 ≤ (x, y ) + 2 (x, y )
x2 + y 2

e, portanto, o limite existe e o seu valor ´ 0.
e

2

Exerc´
ıcio 2 Considere a fun¸˜o f (x, y ) = x log(xy ).
ca1. Indique, justificando, em que pontos ´ que a fun¸˜o f ´ cont´
e
ca
e
ınua.
2. Mostre que, sendo S uma recta que passa pela origem e contida no dom´
ınio D de f
o limite de f na origemrelativo ao conjunto S ,
lim

(x,y )→(0,0)

f (x, y ),

(x,y )∈S

existe e com o mesmo valor para toda as rectas nas condi¸˜es indicadas.
co
3. Mostre que n˜o existe lim(x,y)→(0,0) f (x, y ).(Sugest˜o: estude o limite relativo ao
a
a
1
subconjunto de D formado pelos pontos que pertencem ` linha de equa¸˜o y = e− x2 ).
a
ca

Resolu¸˜o:
ca
1. A fun¸˜o f ´ cont´
ca
e
ınua no seudom´
ınio D = {(x, y ) ∈ R2 : xy > 0}, pois a fun¸˜o
ca
g (x, y ) = log xy ´ cont´
e
ınua neste dom´
ınio por ser a composta de fun¸˜es cont´
co
ınuas
(g = ψ ◦ ϕ onde ψ (u) = log u e ϕ(x, y ) =xy ) e portanto f (x, y ) = xg (x, y ) ´ cont´
e
ınua
pois ´ o produto de fun¸˜es cont´
e
co
ınuas.
2. Consideremos as rectas que passam pela origem com declive m e que est˜o contidas
a
2...
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