Limite

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Matemática Licenciatura - Semestre 2010.1
Curso: Cálculo Diferencial e Integral I
Professor: Robson Sousa

Limite e Continuidade
Neste capítulo apresentaremos as idéias básicas sobre limites e continuidade de uma função real.

Limites
Seja f : R ! R uma função de…nida por 2x + 1, isto é, f (x) = 2x + 1. O grá…co de f é uma reta que intercepta o eixo dos y no ponto (0; 1) e intercepta o eixo dos x no ponto
( 1 ; 0) (con…ra Figura 1).
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Figura 1: Grá…co da função f (x) = 2x + 1.

Vamos considerar as tabelas x 0; 5 0; 9 f (x) 2 2; 8

0; 99 0; 999
2; 98 2; 998

0; 9999
2; 9998

e x 1; 5 1; 1 1; 01 1; 001 f (x) 4 3; 2 3; 02 3; 002

1; 0001
:
3; 0002

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Pelas tabelas, notamos que, quando x se aproxima de 1, notação x ! 1, tanto pela esquerda quanto pela direita temos que f (x) se aproxima de 3. Neste caso, dizemos que f (x) tende ao limite 3 quando x se aproxima de 1, neste caso usamos a seguinte simbologia: lim f (x) = 3:

x!1

Mais geralmente, temos a seguinte de…nição.
De…nição 0.1 Seja f uma função qualquer. Se f aproxima-se de uma constante L, quando x se aproxima de um número x0 tanto pela esquerda quanto pela direita, dizemos que f tende ao limite L. Neste caso, escreveremos lim f (x) = L:

x!x0

O número real L é chamado de limite de f no ponto x0 (con…ra Figura abaixo). A notação x ! x0 signi…ca que x está muito próximo de x0 mas x 6= x0 .

Figura 2: Representação grá…ca de limx!x0 f (x) = L.

Exemplo 0.2 Se f (x) = c é a função constante, então lim f (x) = c:

x!x0

Solução. Pelo grá…co de f (con…ra Figura 3 abaixo), temos que o limite de f é igual a c, em qualquer ponto x0 , pois a medida que nos aproximamos tanto pela esquerda, quanto pela direita de qualquer ponto x0 , f (x) se aproxima de c.

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Figura 3: Grá…co da função f (x) = c.

Exemplo 0.3 Se f (x) = x é a função identidade, então lim f (x) = x0 :

x!x0

Solução. Pelo grá…co de f (con…ra Figura 4),

Figura 4: Grá…co