Limite

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Aula 5
Limites laterais
Para cada x real, de¯ne-se o valor absoluto ou m¶dulo de x como sendo
o
(
x se x ¸ 0
jxj =
¡x se x < 0
p
p
p
p
Por p
exemplo, j 2j = 2, j + 3j = +3, j¡ 4j = 4,j0j = 0, j1 ¡ 2j = 2 ¡ 1 (pois
1 ¡ 2 < 0).
Para apresentar o conceito de limites laterais, consideraremos a fun»~o
ca
f (x) = x +

x
jxj

cujo campo de de¯ni»~o (dom¶
ca
³nio) ¶ o conjunto R¡ f0g.
e
Se x > 0, jxj = x e portanto f (x) = x + 1. Se x < 0, jxj = ¡x e portanto
f (x) = x ¡ 1. O gr¶¯co de f ¶ esbo»ado na ¯gura 5.1.
a
e
c
y
2

1

-2

-1

1

2

x

-1
-2Figura 5.1. Esbo»o do gr¶¯co de f (x) = x +
c
a
39

x
.
jxj

Limites laterais

40

Se x tende a 0, mantendo-se > 0, f (x) tende a 1. Se tende a 0, mantendo-se
< 0, f (x) tende a ¡1.Dizemos ent~o que o limite de f (x), quando x tende a 0 pela direita, ¶ igual a 1,
a
e
e denotamos
lim f (x) = 1
+
x!0

Dizemos tamb¶m que o limite de f (x), quando x tende a 0 pela esquerda, ¶igual
e
e
a ¡1, e denotamos
lim f (x) = ¡1
¡
x!0

De um modo geral, sendo f (x) uma fun»~o, se x0 est¶ no interior ou ¶ extremo
ca
a
e
inferior de um intervalo contido em D(f ),
lim f (x)signi¯ca

lim f (x)

x!x0
x>x0

x!x+
0

Se x0 est¶ no interior ou ¶ extremo superior de um intervalo contido em D(f ),
a
e
lim f (x) signi¯ca

lim f (x)

x!x0
x

lim
¡

x!0

11
= lim = ¡1
0
x x!0 x
x<

Limites laterais

41
1
x!+1 x

(Tamb¶m ilustramos que lim
e

1
x!¡1 x

= lim

= 0.)

Neste caso, ¶ conveniente denotar, introduzindo novos s¶
e³mbolos em nossa ¶lgebra
a
de limites,
1
1
1
1
lim = + = +1
lim
= ¡ = ¡1
x!0+ x
x!0¡ x
0
0
Observa»~o 5.1 Em geral, dizemos que
ca
lim f (x) = 0+ se

x!x0

(i) lim f (x) = 0, e
x!x0(ii) f (x) mant¶m-se > 0 quando x ! x0 , ou seja, f (x) > 0 para todo x su¯cientee
mente pr¶ximo de x0 .
o
Dizemos que lim f (x) = 0¡ se
x!x0

(i) lim f (x) = 0, e
x!x0

(ii) f (x)...
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