Lagranje

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Aula 7: Interpolação polinomial de Lagrange
7.1 Interpolação

Seja f uma função real definida num conjunto de pontos x0 , x1 , . . . , xn . Pretende-se calcular o valor de f (x), com x = xi , i = 0, 1, . . . , n. Tal situação é muito frequente, por exemplo, no contexto das equações diferenciais. Quando se usam métodos numéricos para aproximar a solução de uma equação diferencial esta fica apenasconhecida num conjunto de pontos. A interpolação permite assim encontrar uma função que passa por esse conjunto de pontos e que pode funcionar como uma aproximação à solução da equação. Em linhas gerais, o conceito de interpolação consiste em determinar uma função ψ(x) = a0 ψ0 (x) + · · · + an ψn (x), gerada por uma certa família de funções {ψk }n , por forma a que k=0 f (xi ) = ψ(xi ), i = 0, 1,. . . , n.

A função ψ nestas condições é designada por função interpoladora de f nos pontos de suporte (interpolação) x0 , x1 , . . . , xn . Nada nos garante que o problema da interpolação tenha sempre solução. Por exemplo, fazendo ψ0 (x) = 1 e ψ1 (x) = x2 , não existe nenhuma função ψ(x) = a0 + a1 x2 que passe nos pontos (1, 1) e (−1, 0).

7.2

Interpolação polinomial de Lagrange

Umcaso particular de interpolação com grande importância devido ao grande número de aplicações é a interpolação polinomial. Além disso, as fórmulas desenvolvidas para a interpolação polinomial estão na base do desenvolvimento de muitos métodos numéricos para o cálculo de raízes de equações não lineares, cálculo de integrais e derivadas, bem como a resolução de equações diferenciais. No caso dainterpolação polinomial, as funções geradoras são, por exemplo, ψk (x) = xk , k = 0, 1, . . . , n.

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Interpolação polinomial de Lagrange

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Definição 7.1 Seja f uma função definida num intervalo [a, b] e conhecida nos pontos da partição a = x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = b. (7.1) Um polinómio P que satisfaz f (xi ) = P (xi ), i = 0, 1, . . . , n, (7.2)

é chamado polinómio interpolador (deLagrange) de f nos pontos da partição dada. Exercício 7.1 Dada a tabela xi log xi 2,3 2,4 2,5 2,6 , 0,361728 0,380211 0,397940 0,414973

determine o valor aproximado de log 2,45, usando interpolação polinomial. Resolução: Vamos calcular o polinómio P3 de grau menor ou igual a 3, interpolador de y = log x nos pontos 2,3, 2,4, 2,5 e 2,6. De acordo com a definição temos P3 (2,3) = 0,361728, P3 (2,4)= 0,380211, P3 (2,5) = 0,397940, e P3 (2,6) = 0,414973. Isto é, se P3 (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 , temos que   a0 + 2,3a1 + 5,29a2 + 12,167a3 = 0,361728   a0 + 2,4a1 + 5,76a2 + 13,824a3 = 0,380211 .  a0 + 2,5a1 + 6,25a2 + 15,625a3 = 0,397940   a0 + 2,6a1 + 6,76a2 + 17,576a3 = 0,414973 Sendo o sistema possível e determinado tal polinómio existe e é único. Assim P3 (x) = −0,404885 +0,528963x − 0,107300x2 + 0,009667x3 é o polinómio pretendido. Temos então que log 2,45 ≈ P3 (2,45) = 0,389170. Comparese este valor com o valor exacto log 2,45 = 0,38916608 . . .. Note-se que o erro cometido na aproximação não excede 0,4 × 10−5 . A determinação do polinómio interpolador por este processo é pouco eficiente e pouco estável. Quanto à eficiência, note-se que a resolução do sistema linearrequer (n + 1)3 /3 + (n+1)2 −(n+1)/3 multiplicações/adições (O(n3 ) operações). Para além de pouco eficiente, este processo também é pouco estável: na prática verifica-se que este método não permite ir além de valores de n da ordem da dezena quando se trabalha em aritmética com 6 ou 7 decimais.

Interpolação polinomial de Lagrange

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7.2.1

Existência e unicidade. Fórmula de Lagrange

Ométodo de determinar um polinómio interpolador usado no exercício anterior não é eficiente nem estável. Apresentaremos, neste capítulo, alguns métodos mais eficientes para a sua determinação. O próximo teorema, devido a Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), estabelece a existência e unicidade do polinómio de grau inferior ou igual a n interpolador de uma função em n + 1 pontos distintos. Além disso,...
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